Esercizio 13

Due pesi, uno di 12.33 N e l'altro di 6.70 N, sono appesi alle estremità di un'asta rigida pesante lunga 1.012 m, che ha una densità lineare di massa ρ = 1.911 kg/m. In che punto l'asta va sospesa, affinché rimanga orizzontale?

Soluzione.

Perchè l'asta sia in equilibrio, la somma dei momenti applicati all'asta a sinistra del sostegno deve essere uguale alla somma dei momenti agenti a destra del sostegno. Supponiamo che il sostegno si trovi ad una distanza x dal peso 1. A sinistra del sostegno agiranno il momento del peso 1, pari a P1·x, e il momento del peso Px = ρ·x·g del tratto x dell'asta, che possiamo pensare applicato nel baricentro del tratto x dell'asta, vale a dire a una distanza x/2 dal peso 1. Ragionamenti analoghi valgono per i momenti applicati a destra del sostegno, agenti sul tratto l-x dell'asta. La condizione di equilibrio si può scrivere allora come

P1 · x + Px · x/2 = P2 · (l - x) + Pl-x · (l - x)/2
cioè

P1 · x + ρ·x·g · x/2 = P2 · (l - x) + ρ·(l-x)·g · (l - x)/2

Eseguendo i prodotti e isolando i termini con la x si ottiene

x · (P1 + P2 + ρ · l · g) = P2 · l + ρ · g · l2/2

da cui

x = (P2 · l + ρ · g · l2/2) / (P1 + P2 + ρ · l · g)

Sostituendo i valori numerici si avrà

x = (6.70 · 1.012 + 1.911 · 9.80665 · 1.0122/2) / (12.33 + 6.70 + 1.911 · 1.012 · 9.80665) = 0.431 m

L'asta dunque va sospesa ad una distanza di 0.431 m dal peso P1.