Esercizio 2

Il coefficiente di diffusione dell'emoglobina in acqua è D = 6.32*10^-7 cm²sec^-1 a temperatura ambiente (20 gradi C). Calcolare quanta emoglobina diffonderà lungo un tubo orizzontale con sezione di raggio 1.98 cm in 8704.4 ore sotto un gradiente di concentrazione di 4.472 g/litro per metro.

Soluzione.

Secondo i dati del problema abbiamo a che fare con la diffusione di un soluto in una soluzione in condizioni stazionarie [gradiente di concentrazione costante] per cui vale la [prima] legge di Fick

m = - D pi r² dc/dx t .

m è la massa di soluto che passa attraverso il tubo nel tempo t, D è il coefficiente di diffusione, A = pi r² l'area di una sezione del tubo cilindrico, dc/dx [in figura è indicato come (c₁-c₂)/L] il gradiente di concentrazione. In figura il tubo è disegnato verticale, mentre nel testo si parla di un tubo orizzontale: nei limiti in cui si trascura l'effetto della gravità, questa differenza è irrilevante.
L'unica difficoltà consiste quindi nella conversione delle unità di misura. Supponiamo di calcolare la massa di soluto diffusa in kg.

D = 6.32*10^-7 cm²sec^-1 = 6.32*10^-11 m²sec^-1 -- ( 1 cm² = 10^-4 m² )

r = 1.98 cm = 1.98*10^-2 m -- ( 1 cm = 10^-2 m )

dc/dx = 4.472 g/litro per metro = 4.472 kg/m⁴ -- ( 1 g/l = 1 kg/m³ )

t = 8704.4 h = 3.1336*10⁷ s -- ( 1 h = 3,600 s).

Il risultato può essere ottenuto in un'unica sequenza di operazioni con la calcolatrice [senza passaggi intermedi e quindi minimizzando il rischio di errori di trascrizione]:

m = 6.32*10^-11 m²sec^-1 3.14159.... (1.98*10^-2)² 4.472 kg/m⁴ 3.1336*10⁷ s = 1.09*10^-5 kg

Numericamente si può notare quanto segue. Le conversioni che implicano potenze di 10 non hanno alcun effetto ai fini del numero di cifre significative con cui si ottiene il risultato, quindi basta usare lo stesso numero di cifre dei dati nel testo. Quando la conversione [ad es. da h a s] implica fattori che non sono potenze di 10, occorre fare attenzione a non perdere in precisione, senza però portarsi dietro cifre inutili: una regola è che occorre utilizzare nei passaggi intermedi almeno una cifra in più rispetto al numero di cifre con cui si vuole il risultato finale, in questo caso quindi, se vogliamo il risultato con tre cifre significative, i numeri nell'espressione devono averne almeno quattro - siccome il tempo dato nel problema aveva cinque cifre, queste sono state tenute nel passaggio intermedio - usare 3.134 invece di 3.1336 produce lo stesso risultato finale. Infine pi, cioè o pi-greco, è stato indicato con sei cifre, ma qualsiasi calcolatrice lo da tipicamente con 10 cifre per cui non ci si deve stare a preoccupare!