Esercizio 6

Un lingotto formato d'oro e d'argento pesa 7.077 N; immerso nell'acqua esso pesa 6.688 N. Qual è il volume di oro contenuto nel lingotto? (densità oro = 19.3 g/cm3, densità argento = 10.5 g/cm3)

Soluzione.

La massa m del lingotto è la somma della massa d'oro più la massa d'argento:

mAu + mAg = m           (1)
La massa d'oro è data dalla densità dell'oro per il volume di oro contenuto nel lingotto, e lo stesso vale per l'argento
mAu = ρAu·VAu
mAg = ρAg·VAg
perciò la (1) diventa:
ρAu·VAu + ρAg·VAg = m           (2)
Possiamo esprimere il volume di argento in funzione di quello dell'oro e del volume totale V del lingotto: VAg = V - VAu.
Il volume V del lingotto è uguale al volume di acqua spostata. Vediamo come si ricava tale volume. Quando il lingotto è immerso nell'acqua, la forza peso che agisce su di esso risulta diminuita della spinta idrostatica. Il peso del lingotto nell'acqua è quindi uguale alla forza peso P meno la spinta idrostatica S: PH2O = P - S, e dunque S = P - PH2O. Come è noto, la spinta idrostatica è anche pari al peso del volume del liquido spostato, S = g·ρH2O·V, perciò il volume si ottiene da
V = S / (g·ρH2O) = ΔP / (g·ρH2O)
dove ΔP è la differenza P - PH2O tra il peso del lingotto e il peso del lingotto in acqua.
Inoltre la massa m del lingotto si può esprimere come P / g.
Sostituendo nella (2) si ottiene
ρAu·VAu + ρAg·(V - VAu) = m
ρAu·VAu + ρAg·(ΔP / (g·ρH2O) - VAu) = P / g

Dall'ultima espressione si può isolare e ricavare VAu

VAu·(ρAu - ρAg) = P / g - ρAg·ΔP / (g·ρH2O)
VAu = ( P / g - ρAg'·ΔP / (g·ρH2O) ) / (ρAu - ρAg)
Sostituendo i dati del testo si trova
VAu = 3.468·10-5 m3
Ricordare che, se si esegue il calcolo nel SI, le densità dell'oro e dell'argento vanno trasformate da g/cm3 in kg/m3 (1 g/cm3 = 103 kg/m3, perciò, ad esempio, densità oro = 19.3 g/cm3 = 19300 kg/m3).