L'analisi dimensionale è un attrezzo concettuale applicato spesso nella fisica, nella chimica e nell'ingegneria per capire le situazioni fisiche che coinvolgono una miscela dei generi differenti di quantità fisiche. È usata ordinariamente dagli scienziati fisici e dagli assistenti tecnici per controllare la plausibilità delle equazioni derivate. Soltanto i quantites quotati simili possono essere aggiunti, sottratti, confrontati, o essere identificati. Quando diverso delle quantità quotate compare l'opposto del "+" o "-" o "=" segno, quell'equazione fisica non è plausibile che potrebbe spingere uno per correggere gli errori prima di continuare usarlo. Quando come le quantità quotate o diverso dei quantites quotati si moltiplicano o divisi, le loro dimensioni similarmente sono moltiplicate o divise. Quando i quantites quotati sono sollevati ad un'alimentazione o ad una radice di alimentazione, lo stesso è fatto alle dimensioni fissate a quelle quantità.

Le dimensioni di una quantità fisica è associata con i simboli, quale la m., la L, la T che rappresenta la massa, la lunghezza ed il tempo, ciascuno alzata alle alimentazioni razionali. Per esempio, la dimensione della variabile fisica, velocità, è distance/time (L/T) e la dimensione di una forza è mass×distance/time² o ML/T². In meccanici, ogni dimensione può essere espressa in termini di distanza (che i fisici spesso chiamano "lunghezza"), tempo e massa, o alternativamente in termini di forza, lunghezza e massa. Secondo il problema, può essere conveniente scegliere altro altro un o insieme delle dimensioni. Nell'elettromagnetismo, per esempio, può essere utile usare le dimensioni della m., della L, della T e della Q, dove la Q rappresenta la quantità di carica elettrica.
Le unità di una quantità fisica sono definite dalla convenzione, relativa ad un certo campione; per esempio la lunghezza può avere unità dei tester, dei piedi, dei pollici, delle miglia o dei micrometri; ma una lunghezza ha sempre una dimensione della L se è misurata in tester, piedi, pollici, miglia o micrometri. I simboli dimensionali, quale la L, formano un gruppo: ci è un'identità, 1; ci è un inverso alla L, che è 1/L e la L sollevata a tutta l'alimentazione razionale p è un membro del gruppo, avendo un inverso di 1/L alzato all'alimentazione p. Ci sono fattori di conversione fra le unità; per esempio un tester è uguale a 39.37 pollici, ma un tester e un pollice sono entrambe il collegato con lo stesso simbolo, L.
Nella forma più primitiva, l'analisi dimensionale può essere usata per controllare la precisione delle equazioni fisiche: in ogni espressione fisicamente espressiva, soltanto le quantità della stessa dimensione possono essere aggiunte o sottratte. Inoltre, i due lati di tutta l'equazione devono avere le stesse dimensioni. Per esempio, la massa di ratto e la massa di pulce possono essere aggiunte, ma la massa di pulce e la lunghezza di un ratto non possono essere aggiunte. Ancora, le discussioni alle funzioniesponenziali , trigonometriche e logaritmiche devono essere numeri senza dimensioni. Il logaritmo di 3 chilogrammi è non definito, ma il logaritmo di 3 è 0.477.
Dovrebbe essere notato che le quantità fisiche molto differenti possono avere le stesse dimensioni: il lavoro e la coppia di torsione, per esempio, entrambi hanno le stesse dimensioni, m. L2T-2. Un'equazione con coppia di torsione da un lato ed energia d'altro canto sarebbe dimensionale corretta, ma non può essere fisicamente corretta! Tuttavia, la coppia di torsione ha moltiplicato per una torsione angolare misurata nei radianti (senza dimensioni) è lavoro o energia. ( il radiante è la misura matematicamente naturale di un angolo ed è il rapporto dell'arco di un cerchio profondo da un tal angolo diviso dal raggio del cerchio. Quel rapporto come delle quantità quotate, lunghezza eccessiva di lunghezza, è senza dimensioni.) Il valore di una quantità fisica dimensionful è scritto come il prodotto di un'unità all'interno della dimensione e di un fattore numerico senza dimensioni. Rigorosamente, quando come le quantità quotate sono aggiunti o sottratto o confrontato, questi quantità quotate devono essere espressi nelle unità costanti in moda da potere direttamente essere aggiunto o sottrarre i valori numerici di queste quantità. Ma, non ci è concettualmente problema che aggiunge le quantità della stessa dimensione espressa nelle unità differenti. Per esempio, 1 tester aggiunto a 1 piede è una lunghezza, ma non sarebbe corretto da aggiungere 1 a 1 per ottenere il risultato. Un fattore di conversione, che è un rapporto come delle quantità quotate ed è uguale all'unità senza dimensioni:
= 1 \operatorname{m} + 1 \!\!\!\!/\times del \operatorname{ft} 0.3048 \!\!\!\! del \frac{\operatorname{m}}{\operatorname{ft}/} è identico a dire = 1 \operatorname{m} + 0.3048 \operatorname{m}
Il fattore = 1.3048} \ del \operatorname{m è identico al 1 senza dimensioni, in modo da a non moltiplicare per i cambiamenti di questo fattore di conversione niente. Allora quando aggiungere due quantites della dimensione simile, ma espresso nelle unità differenti, il fattore adatto di conversione, che è essenzialmente il 1 senza dimensioni ha usato convertire le unità, è usato convertire i quanties in stesse unità in moda da potere essere aggiunto o sottrarre i loro valori numrical.
Teorema di Buckingham pi Analisi dimensionale
Dynamics fluido
Coefficiente di resistenza
Numero del Reynolds
Soltanto in questo modo, è espressivo parlare di aggiunta come le quantità quotate di unità differenti, anche se fare così matematicamente, tutte le unità devono essere le stesse. Non è fisicamente o matematicamente espressivo, parlare di aggiunta diverso delle quantità fisiche quotate come aggiunta della lunghezza (opinione, in tester) alla massa (forse nei chilogrammi).
Il?-teorema di Buckingham costituisce la base dell'attrezzo centrale di analisi dimensionale. Questo teorema descrive come ogni equazione fisicamente espressiva che coinvolge le variabili di n può equivalente essere riscritta come equazione di n-parametri senza dimensioni di m., dove la m. è il numero di dimensioni fondamentali usate. Ancora ed il più d'importanza, fornisce un metodo per la computazione dei questi parametri senza dimensioni dalle date variabili, anche se la forma dell'equazione è ancora sconosciuto.
[pubblichi] Un esempio funzionato
Un'applicazione tipica di analisi dimensionale si presenta nel dynamics fluido. Se un liquido commovente viene a contatto di un oggetto, impiega una forza sull'oggetto, secondo (e non completamente capito) una legge complicata. Potremmo supporre che le variabili coinvolgere in alcune circostanze per essere la velocità, la densità e la viscosità del liquido, il formato del corpo (espresso in termini di relativa zona frontale A) e forza di resistenza. Usando la procedura del?-teorema, uno può ridurre queste cinque variabili - due parametri senza dimensioni: il coefficiente di resistenza ed il numero del Reynolds.
Alternativamente, uno può derivare i parametri senza dimensioni via manipolazione diretta delle equazioni differenziali di fondo.
Che questo è in modo da diventa evidente quando la forza di resistenza F è espressa come componente di una funzione delle altre variabili nel problema:
F=\rho Au^2f(Re). \!
Questa forma piuttosto dispari dell'espressione è usata perché non presuppone un rapporto di one-one. Qui, la f è una certa funzione (finora sconosciuto) quella introiti cinque discussioni. Notiamo che il lato destro è zero in tutto il sistema delle unità; così dovrebbe essere possibile esprimere il rapporto descritto dalla f in termini di soltanto gruppi senza dimensioni.
Ci sono molti sensi di combinazione delle cinque discussioni della f per formare i gruppi senza dimensioni, ma il teorema di Buckingham pi dichiara che ci saranno due tali gruppi. L'più adatti sono il numero del Reynolds, dato vicino
Analisi dimensionale
ed il coefficiente di resistenza, dato vicino
Similitude (modello)
Così la legge originale che coinvolge una funzione di cinque variabili può essere sostituita da una che coinvolge soltanto due:
Teorema di Buckingham pi
dove la f è una certa funzione di due discussioni. La legge originale allora è ridotta ad una legge che coinvolge soltanto questi due numeri.
Poiché l'unico sconosciuto nella suddetta equazione è F, è possibile esprimerla As
Numero senza dimensioni
o
Analisi dimensionale
Così la forza è semplicemente ?Una u2 cronometra una certa (finora funzione di sconosciuto) del numero del Reynolds: un sistema considerevolmente più semplice che la funzione originale di cinque-discussione data sopra.
L'analisi dimensionale così rende ad un problema molto complesso (che prova a determinare il comportamento di una funzione di cinque variabili) molto più semplice: la determinazione della resistenza in funzione di soltanto una variabile, il numero del Reynolds.
L'analisi inoltre fornisce altre informazioni per libero, in modo da parlare. Sappiamo che, altre cose che sono uguale, la forza di resistenza saranno proporzionali alla densità del liquido. Questo genere di informazioni risulta spesso essere estremamente importante, particolarmente nelle fasi iniziali di un progetto di ricerca.
Empiricamente determinare la dipendenza di numero del Reynolds, invece di sperimentare dagli enti enormi con i liquidi fluenti veloci (quali gli aeroplani di reale-formato in vento-trafori), uno può appena pure sperimentare sui piccoli modelli con fluire lento, liquidi più viscosi, perché questi due sistemi sono simili.
[pubblichi] Veda inoltre
* Similitude (modello)
* Teorema di Buckingham pi
* Numero senza dimensioni
[pubblichi] Riferimenti
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* Klinkenberg A. Chem. Inglese. Science, 1955, 4, pp 130-140, 167-177
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* Moody, L. F., "fattori di attrito per flusso del tubo", trasporto. . Soc. Mech. Engrs., 1944, 66, 671
Collegamenti esterni:
* http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf
Richiamato "da http://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_analysis"
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