1 Cenni di Algebra Vettoriale

Esistono grandezze fisiche che per essere indicate richiedono unicamente un valore numerico. Queste quantitá sono dette scalari (temperatura, massa, ecc) e non presentano particolari difficoltá nella loro comprensione. Ci sono peró anche grandezze, chiamate vettori, che vengono indicate fornendo informazioni relative alla loro direzione e verso (forze, accelerazioni ...). Geometricamente un vettore é rappresentabile con una freccia caratterizzata dunque da una direzione, da un verso e da un punto d'applicazione. Se non viene specificato il punto di applicazione si parla di vettore libero.

1. Due vettori $\overrightarrow{A},\,\overrightarrow{B}$ sono uguali solo se hanno la stessa ampiezza o modulo, la stessa direzione e lo stesso verso. $\overrightarrow{A}=\overrightarrow{B}$
2. Sia $\overrightarrow{A}$ , allora il vettore avente lo stesso modulo e direzione, ma verso opposto, viene indicato con $-\overrightarrow{A}$.
3. La somma algebrica di due vettori $\overrightarrow{A},\,\overrightarrow{B}$ si ottiene applicando la regola del parallelogramma. Da notare che la differenza tra due vettori $\overrightarrow{A}\,\overrightarrow{B}$ é pari alla somma di $\overrightarrow{A}$ e $-\overrightarrow{B}$ per quanto detto nel punto precedente.
4. Il prodotto di un vettore $\overrightarrow{A}$ per un scalare h é ancora un vettore, $\overrightarrow{A}'$, avente la stessa direzione ma modulo pari a $h\vert\overrightarrow{A}\vert$. Se h é negativo allora il verso di $\overrightarrow{A}'$é opposto a quello di $\overrightarrow{A}$.
5. Le grandezze fisiche vettoriali appartengono a quello che in geometria viene definito uno spazio vettoriale su campo reale. Per comoditá riportiamo qui di seguito la definizione generale di spazio vettoriale: Siano l'insieme R dei numeri reali e V un insieme. Si dice che V é uno spazio vettoriale se:

• É definita in V una somma ovvero un'operazione che associa ad ogni coppia (a,b) di elementi di V un unico elemento di V indicato con a+b.
• É definito un prodotto esterno con elementi di R, ovvero un'operazione che associa alla coppia di elementi (a,h) con a $\in$ V e h $\in$ R, un elemento $\in$ V chiamato ah.
• Le due operazioni definite debbono soddisfare alcune regole:

a)

SOMMA: Proprietá associativa, proprietá commutativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'opposto, proprietá distributiva.

b)

PRODOTTO ESTERNO: Esistenza del neutro, proprietá associativa e distributiva.

A questa definizione é necessario aggiungere il concetto di prodotto scalare: Sia V uno spazio vettoriale su campo reale. Definisco prodotto scalare quella applicazione $P:\, V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ (attenzione quindi che il p.s. é uno scalare) con le seguenti proprietá:

a) $P(\mathbf{x},\mathbf{y})=P(\mathbf{y},\mathbf{x})\:\;\forall\,\mathbf{x},\mathbf{y}\,\in\, V$

 

b) $P(t\mathbf{x},\mathbf{y})=P(\mathbf{x},t\mathbf{y})=tP(\mathbf{x},\mathbf{y})\:\;\forall\,\mathbf{x},\mathbf{y}\,\in\, V$ ,

$\forall t\in\mathbb{R}$

c) $P(\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z})=P(\mathbf{x},\mathbf{z})+P(\mathbf{y},\mathbf{z})\:\;\forall\,\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\,\in\, V$

 

d) $P(\mathbf{x},\mathbf{x})\geq0\:\;\forall\,\mathbf{x}\,\in\, V$

e pari a 0 solo se x=0.

In $\mathbb{R}^{n}$un prodotto scalare che puó essere definito é:

$$P(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}$$

a cui é associata naturalmente la norma:

$$\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{P(\mathbf{x},\mathbf{x})}$$

Il prodotto scalare che abbiamo definito non é l'unico possibile, ma é quello che viene adottato normalmente, pertanto ci atterremo a questo.

Un'altra operazione fortemente utilizzata é il prodotto vettoriale e nasce dal concetto fisico di momento di una forza.

$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$$

Il prodotto vettoriale dá come risultato un vettore (c) che ha per modulo il prodotto $\vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\sin\hat{\mathbf{ab}}$. Si noti che se i due vettori sono collineari allora il prodotto é nullo. La direzione é quella ortogonale al piano individuato dai due vettori a e b mentre il verso si determina applicando la regola della mano destra. É evidente che scambiando l'ordine dei due vettori il prodotto cambia solo nel verso, si dice cioé che é anticommutativo.

Un particolare da tenere bene in mente é che i versori della comune terna di assi i,j,k ortogonali soddisfano la seguente relazione ¨circolare¨:

$$\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}=\overrightarrow{k... ...;\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}$$ (1)

Si puó pure dimostrare che il prodotto vettoriale é distributivo sia a destra che a sinistra, cioé:

$$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{... ...s\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}$$ (2)

e

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times\overrightarrow... ...s\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}$$ (3)

Applicando le eq.1, 2, 3 si ricava che il prodotto vettoriale vale, in coordinate cartesiane:

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}... ...}b_{z}-a_{z}b_{x})\mathbf{j}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\mathbf{k}$$ (4)

Quest'ultima equazione puó essere comodamente riscritta in notazione matriciale ricordando la definizione di determinante:

$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left\vert\begin{... ...& a_{y} & a_{z}\\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right\vert$$ (5)

Infine esiste il prodotto misto, operazione in cui compare sia il prodotto scalare che quello vettoriale:

$$(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}$$

É possibile inoltre definire anche le operazioni matematiche di derivazione e d'integrazione. Per la derivazione vettoriale vale il concetto di limite del rapporto incrementale rispetto ad un parametro u:

$$\frac{d\mathbf{F}}{du}=\lim_{\Delta u\rightarrow0}\frac{\mathbf{F}(u+\Delta u)-\mathbf{F}(u)}{\Delta u}$$

purché tale limite esista. Se il vettore F(u) é scomponibile in $\mathbf{F}_{x}(u)\mathbf{i}+\mathbf{F}_{y}(u)\mathbf{j+}\mathbf{F}_{z}(u)\mathbf{k}$ o piú in generale in una qualunque base vettoriale, allora

$$\frac{d\mathbf{F}}{du}=\frac{d\mathbf{F}_{x}(u)}{du}\mathbf{... ...}_{y}(u)}{du}\mathbf{j}+\frac{d\mathbf{F}_{z}(u)}{du}\mathbf{k}$$

Inoltre le consuete regole e proprietá della operazione di derivazione sono mutuate dall´analisi:

$$\frac{d\mathbf{\left(\phi F\right)}}{du}=\phi\frac{d\mathbf{F}}{du}+\mathbf{F}\frac{d\mathbf{\phi}}{du}$$ (6)

$$\frac{d\mathbf{\left(G\cdot F\right)}}{du}=\mathbf{G}\cdot\frac{d\mathbf{F}}{du}+\frac{d\mathbf{G}}{du}\cdot\mathbf{F}$$ (7)

$$\frac{d\mathbf{\left(G\times F\right)}}{du}=\mathbf{G}\times\frac{d\mathbf{F}}{du}+\frac{d\mathbf{G}}{du}\times\mathbf{F}$$ (8)

Per quanto riguarda invece l'operazione d'integrazione si puó dire che dato un vettore $\mathbf{F}(u)=F_{x}(u)\mathbf{i+}F_{j}(u)\mathbf{j+}F_{z}(u)\mathbf{k}$, posso definire in generale:

$$\int\mathbf{F}(u)du=\mathbf{i}\int F_{x}(u)du\mathbf{+j}\int F_{j}(u)du\mathbf{+k}\int F_{z}(u)du$$

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