24 marzo 2004

Meccanica

Calcolo vettoriale

1. Definire grandezze scalari e grandezze vettoriali. Dare alcuni esempi di entrambi i tipi di grandezze.

2. Traslazione e rotazione sono entrambe grandezze vettoriali? Motivare la risposta.

3. Definire la somma di due vettori nella rappresentazione intrinseca e nella rappresentazione cartesiana.

4. Definire la differenza di due vettori nella rappresentazione intrinseca e nella rappresentazione cartesiana.

5. Dati i moduli fissati e non nulli a e b, diversi tra loro, di due vettori, quali sono i valori minimo e massimo che può assumere il modulo della somma al variare dell’angolo compreso tra i due vettori?

6. Dati i moduli fissati e non nulli a e b, diversi tra loro, di due vettori, quali sono i valori minimo e massimo che può assumere il modulo della differenza al variare dell’angolo compreso tra i due vettori?

7. Definire il prodotto scalare di due vettori nella rappresentazione intrinseca e nella rappresentazione cartesiana.

8. Definire il prodotto vettoriale di due vettori nella rappresentazione intrinseca e nella rappresentazione cartesiana.

9. Dati i moduli fissati e non nulli a e b, diversi tra loro, di due vettori, quali sono i valori minimo e massimo che può assumere il prodotto scalare al variare dell’angolo compreso tra i due vettori?

10. Dati i moduli fissati e non nulli a e b, diversi tra loro, di due vettori, quali sono i valori minimo e massimo che può assumere il modulo del prodotto vettoriale al variare dell’angolo compreso tra i due vettori?

11. Esprimere le relazioni di ortonormalità dei versori cartesiani.

Cinematica

12. Definire un punto materiale.

13. Qual è la differenza fra la durata media di un giorno solare e di un giorno sidereo?

14. Quale fondamentale cambiamento ha subito, nel 1983, la definizione ufficiale del metro?

15. Definire la traiettoria e la legge oraria del moto.

16. Evidenziare la differenza tra descrizione intrinseca e descrizione cartesiana del moto.

17. Definire la velocità scalare e la velocità vettoriale.

18. Esporre e commentare le espressioni intrinseche della velocità e dell’accelerazione.

19. La velocità e l’accelerazione di un punto materiale sono sempre tangenti alla sua traiettoria? Motivare la risposta.

20. Per quale tipo di moto l’accelerazione è tangente alla traiettoria? Per quale tipo di moto l’accelerazione è normale alla traiettoria? Motivare la risposta.

21. Quali, tra le componenti tangenziale, normale e binormale dell’accelerazione, sono nulle in un moto curvilineo uniforme?

22. Quali, tra le componenti tangenziale, normale e binormale dell’accelerazione, sono nulle in un moto rettilineo non uniforme?

23. Definire la velocità aureolare e scriverne l’espressione matematica.

24. Definire il numero dei gradi di libertà di un sistema meccanico.

25. Qual è il numero dei gradi di libertà di un sistema di 2, 3 4 o 5 punti materiali vincolati a mantenere inalterata le distanze reciproche?

26. Enunciare la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi.

27. Quando il moto di un corpo rigido si dice rotatorio, traslatorio e rototraslatorio?

28. Definire l’accelerazione di trascinamento, l’accelerazione centrifuga e l’accelerazione di Coriolis.

Statica

29. Definire un vettore applicato e il suo momento rispetto a un punto fisso O.

30. In quale condizione il momento risultante di un insieme di vettori non dipende dal centro di riduzione? Perché?

31. Quando due insiemi di vettori applicati si dicono equivalenti?

32. Quali modifiche si possono apportare a un sistema di vettori, lasciando inalterati sia la risultante sia il momento risultante?

33. Definire una coppia di vettori e descriverne le proprietà.

34. Qual’è il numero minimo di vettori applicati a cui si riesce a ridurre un generico sistema di vettori applicati?

35. Qual’è il numero minimo di vettori applicati a cui si riesce a ridurre un generico sistema di vettori applicati con risultante nulla?

36. Qual’è il numero minimo di vettori applicati a cui si riesce a ridurre un generico sistema di vettori applicati con momento risultante nullo?

37. Si può trovare un vettore applicato che sia equivalente a un sistema di vettori applicati con risultante nulla e momento risultante diverso da zero?

38. Definire il momento assiale di un vettore applicato.

39. Quale condizione è necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale?

40. Quale condizione è necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo rigido?

41. Due corpi di massa diversa sono appoggiati su di un tavolo. La forza vincolare esercitata dal tavolo sul corpo di massa maggiore è minore, uguale o maggiore della forza esercitata sul corpo di massa minore?

42. Un corpo di massa pari a 1 kg è appoggiato su di un tavolo. Qual’è l’intensità della reazione vincolare del tavolo sul corpo?

43. Se si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a 1 N su di un tavolo ma il tavolo non si muove, quanto vale l’intensità della forza di attrito? Motivare la risposta.

44. Se si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a 10 N su di un tavolo di peso pari a 100 N, essendo il coefficiente di attrito statico ε = 0.2 e il coefficiente di attrito dinamico μ = 0.1, quanto vale l’intensità della forza di attrito? Motivare la risposta.

45. Se si esercita una forza attiva con direzione orizzontale e modulo pari a 30 N su di un tavolo di peso pari a 100 N, essendo il coefficiente di attrito statico ε = 0.2 e il coefficiente di attrito dinamico μ = 0.1, quanto vale l’intensità della forza di attrito? Motivare la risposta.

46. La somma delle forze applicate a un corpo rigido è nulla. Si può quindi affermare che il corpo è in equilibrio? Motivare la risposta

I principio della dinamica

47. Enunciare e commentare il primo principio della dinamica.

48. Definire un sistema di riferimento.

49. Quando un sistema di riferimento si definisce inerziale?

50. Come si può mostrare sperimentalmente che il sistema di riferimento costituito dai corpi di questa stanza non è perfettamente inerziale?

II principio della dinamica

51. Enunciare il secondo principio della dinamica.

52. Definire la massa inerziale e la massa gravitazionale.

53. Quale esperimento può mostrare la proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale?

54. Quali sono, nel Sistema Internazionale, le unità di misura del peso e della massa?

55. Definire l’impulso di una forza ed enunciare il teorema dell’impulso.

56. Definire le forze apparenti e chiarire la distinzione rispetto alle forze di interazioni. Nei sistemi di riferimento in cui esse si osservano, possono le forze apparenti essere considerate forze a tutti gli effetti?

57. Come si può osservare sperimentalmente la presenza della forza centrifuga sulla superficie della Terra?

58. Come si può osservare sperimentalmente la presenza della forza di Coriolis sulla superficie della Terra?

59. Come influisce la forza di Coriolis sui moti di caduta dei gravi?

60. Come influisce la forza di Coriolis sui moti dei corpi sulla superficie terrestre?

61. Di quanto ruota in un giorno il piano di oscillazione del pendolo di Foucault al Polo Nord. Motivare la risposta.

62. Di quanto ruota in un giorno il piano di oscillazione del pendolo di Foucault a 45º di latitudine nord? Motivare la risposta.

63. Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme. Descrivere le forze agenti sul punto materiale, la risultante di tali forze e l’accelerazione del punto materiale dal punto di vista di un osservatore fermo e di un osservatore solidale al punto materiale.

64. Scrivere l’algoritmo di Eulero-Cauchy relativo a un punto materiale soggetto a resistenza viscosa.

65. Scrivere l’algoritmo di Runge-Kutta del II ordine relativo a un punto materiale soggetto a resistenza viscosa.

66. Scrivere l’algoritmo di Eulero-Cauchy relativo a un oscillatore armonico.

67. Scrivere l’algoritmo di Runge-Kutta del II ordine relativo a un oscillatore armonico.

68. Mostrare graficamente il significato dei calcoli eseguiti in un passo dell’algoritmo di Eulero-Cauchy nel caso di un punto materiale soggetto a una forza dipendente soltanto dalla velocità.

69. Mostrare graficamente il significato dei calcoli eseguiti in un passo dell’algoritmo di Runge-Kutta del II ordine nel caso di un punto materiale soggetto a una forza dipendente soltanto dalla velocità.

70. Nel caso di un punto materiale soggetto a una forza dipendente soltanto dalla velocità, ricavare l’espressione di v(t+Δt) in funzione di v(t), utilizzata nel metodo di Eulero-Cauchy.

71. Nel caso di un punto materiale soggetto a una forza dipendente soltanto dalla velocità, ricavare l’espressione di v(t+Δt) in funzione di v(t), utilizzata nel metodo di Runge-Kutta del II ordine.

III Principio della dinamica

72. Enunciare il III principio della dinamica

73. Quali forze si considerano interne a un sistema meccanico e quali esterne?

74. Quando un sistema meccanico si dice isolato?

75. Enunciare la prima equazione cardinale della dinamica.

76. Enunciare la seconda equazione cardinale della dinamica.

77. In quali condizioni la quantità di moto di un sistema meccanico si conserva?

78. In quali condizioni il momento angolare di un sistema meccanico si conserva?

79. Come si definisce il centro di massa di un sistema meccanico?

80. Enunciare il teorema del moto del baricentro.

81. Che relazione esiste tra la quantità di moto di un sistema meccanico e la velocità del suo centro di massa?

82. Nel moto di un pianeta attorno al Sole, si conserva la quantità di moto del pianeta? Si conserva la somma delle quantità di moto del Sole e del pianeta? Trascurare l’effetto della presenza degli altri pianeti e giustificare le 2 risposte.

83. Nel moto di un pianeta attorno al Sole, si conserva il momento angolare del pianeta rispetto al centro del Sole? Si conserva il momento angolare del pianeta rispetto a un punto arbitrario? Trascurare l’effetto della presenza degli altri pianeti e motivare le 2 risposte.

84. Nel moto di un pianeta attorno al Sole, quale punto geometrico rimane in quiete in un opportuno sistema di riferimento inerziale?

85. Quale principio della meccanica può spiegare la costanza della velocità aureolare nel moto dei pianeti? Motivare la risposta.

86. Una persona si trova ferma al centro della superficie di uno stagno ghiacciato perfettamente liscio (attrito trascurabile) e orizzontale. Che cosa potrebbe fare per uscire dallo stagno? Motivare la risposta.

87. Per quale principio della meccanica le orbite dei pianeti sono vincolate a giacere su di un piano?

88. Il momento angolare di un corpo rigido rispetto al suo centro di massa è dipendente dalla velocità del centro di massa?

89. Enunciare il teorema di Huygens-Steiner.

90. Come si definisce il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto a un dato asse?

91. Che relazione esiste tra momento assiale delle forze esterne e accelerazione angolare per un sistema in cui l’asse di rotazione rimane sempre parallelo a se stesso?

Lavoro ed energia

92. Come si definisce il lavoro compiuto da una forza?

93. Quali sono le dimensioni di un lavoro? E quali le unità di misura nel sistema internazionale?

94. Enunciare il teorema delle forze vive. Specificare se esso è valido soltanto per forze conservative o se esso vale anche per forze dissipative.

95. Come si definisce l’energia cinetica di un punto materiale, di un sistema meccanico e di un corpo rigido?

96. Enunciare il teorema di König per un sistema meccanico generico e per un corpo rigido.

97. Definire una forza posizionale e una forza conservativa.

98. Di quale proprietà godono le forze posizionali?

99. Di quali proprietà godono le forze conservative?

100. Definire un campo di forze?

101. Che cosa rappresentano le 3 componenti del rotore di un campo di forze?

102. Definire il potenziale e l’energia potenziale di un campo di forze conservativo.

103. Enunciare il principio di conservazione dell’energia meccanica.

104. Due sferette di diversa massa sono lanciate verticalmente verso l’alto da due forze uguali, che agiscono per lo stesso intervallo di tempo. Trascurando la resistenza dell’aria, quale delle raggiunge una quota più elevata? Motivare la risposta.

105. Sotto quali condizioni l’energia meccanica di un sistema si conserva?

106. Mostrare almeno una forza che non sia conservativa. Motivare la risposta.

107. Un sistema può avere quantità di moto totale nulla ed energia cinetica totale non nulla? Motivare la risposta.

108. Un sistema può avere energia cinetica totale non nulla e quantità di moto totale nulla? Motivare la risposta.

109. In assenza di vincoli, si conserva la quantità di moto di un sistema meccanico isolato in presenza di forze interne non conservative? Motivare la risposta.

110. In assenza di vincoli, si conserva il momento angolare (rispetto a un centro di riduzione arbitrario ma fisso) di un sistema meccanico isolato in presenza di forze interne non conservative? Motivare la risposta.

111. In assenza di vincoli, si conserva l’energia di un sistema meccanico isolato in presenza di forze interne non conservative? Motivare la risposta.

112. In assenza di vincoli, si conserva la quantità di moto di un sistema meccanico in presenza soltanto di forze esterne conservative con risultante non nulla? Motivare la risposta.

113. In assenza di vincoli si conserva il momento angolare (rispetto a un centro di riduzione arbitrario ma fisso) di un sistema meccanico in presenza soltanto di forze esterne conservative con momento risultante non nullo rispetto a tale centro di riduzione? Motivare la risposta.

114. In assenza di vincoli, si conserva l’energia di un sistema meccanico in presenza soltanto di forze esterne conservative con risultante non nulla? Motivare la risposta.