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andruetto p. XI
Crosetto p.7
L’insieme dei numeri naturali serve per contare oggetti appartenenti allo stesso
gruppo.
Siccome, come è noto, la successione dei numeri naturali è
illimitata, Sin dall’antichità è stato necessario cercare un metodo per potere
nominare tutti i numeri, facendo ricorso a pochi segni e regole.
Ad
esempio presso i Maia ed anche tra i Celti si era sviluppato un sistema di numerazione
a base 20.
Il sistema di numerazione decimale.
Le cifre da 1 a 9 rappresentano i numeri da 1 a 9. Gli altri numeri si
indicano con 2 o più cifre una accanto all’altra.
Per convenzione il
numero 1 si chiama unità. Dieci unità (del primo ordine) formano una decina
(unità del 2-do ordine). 10 decine formano un centinaio (unità del 3-zo
ordine) e così via.
Il sistema binario è universalmente usato nell’ambito dei computer.
Altri sistemi non decimali: tanti:
miglio terrestre (= 1760 yards. 1 yd = 0.914 m);
gallone (= 4.543 litri);
Unità di misura di tempo: giorno. Multipli: mese, anno. Sottomultipli: ora, minuto,
secondo…
Unità di misura di angolo: grado= 360 parte angolo giro.
Sottomultipli: primo = 1/60 di grado, secondo = 1/3600 di grado.
N è l’insieme dei numeri naturali
(illimitato).
Commutativa: cambiando l’ordine degli addendi la somma rimane
invariata.
Associativa: la somma di più numeri non cambia se a 2 o più di essi si sotituisce
la loro somma.
Dissociativa: la somma di 2 o più numeri non cambia
se ad 1 addendo se ne sostituiscono 2 o più, tali che la loro somma valga
l’addendo soppresso.
Invariantiva: la differenza tra
due numeri non cambia se si aggiunge o toglie uno stesso numero al minuendo e
al sottraendo.
I termini di una moltiplicazione si chiamano fattori.
Commutativa: cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non
cambia.
Associativa: se a 2 o più fattori si sostituisce il loro prodotto il
risultato non cambia.
Dissociativa: se ad un fattore si
sostutuiscono 2 o più fattori che danno per prodotto il fattore stesso il
risultato non cambia.
Distributiva del prodotto rispetto alla somma:
per moltiplicare una somma (differenza) per un numero si possono moltiplicare
per quel numero i singoli termini della addizione (sottrazione) e poi
addizionare (sottrarre) i risultati ottenuti.
La differenza tra il dividendo ed il
prodotto del divisore per il quoziente si dice resto.
Se il resto è
0 (la divisione è esatta) il risultato si chiama quoto ed il dividendo si
dice divisibile per il divisore.
Invariantiva: moltiplicando
(dividendo) (con resto 0) per uno stesso numero il dividendo e il divisore il
quoziente non cambia ed il resto risulta moltiplicato (diviso) per quel
numero. [22:4=5 resto 2; (22x3):(4x3)=66:12=5 resto 2x3].
Distributiva
della divisione rispetto alla somma: per dividere una somma (differenza)
per un numero, purché i termini della somma (differenza) siano divisibili per
quel numero, si può dividere ciascun termine della somma (differenza) per quel
numero e poi addizionare (sottrarre) i quoti così ottenuti [(12+6):3=18:3=6;
(12+6):3=(12:3)+(6:3)=4+2=6].
crosetto p.16 chiellini p.62
Crosetto p.17. Chiellini
p.62
1.Il prodotto di 2 o più potenze
con la stessa base è = ad una potenza con la stessa base e avente per
esponente la somma degli esponenti.
2.Il quoziente di 2 potenze con
la stessa base è = and una potenza con la stessa base e con la differenza
degli esponenti.
3.La potenza di una potenza ha la
stessa base ed il prodotto degli esponenti.
4.La potenza di un prodotto è =
al prodotto di ogni fattore elevato a quella potenza.
5.La potenza di un quoziente è =
alla divisione tra i termini della divisione elevati a quella potenza.
1. an ∙a = an+1 = an ∙a1 => a1 = a.
2. an :an = an-n = a0; an: an = 1 => a0 = 1.
Crosetto p.19
Ogni numero è divisibile per se stesso e per 1.
I criteri di divisibilità permettono di verificare la divisibilità senza
eseguire la divisione.
4 (25) quando termina con 2 zeri o le ultime 2
cifre a destra formano un numero divisibile per 4 (25);
9 se la somma delle cifre è divisibile per 9;
11: 68937 => 7+9+6=22; 3+8=11; 22-11=11 => 68937 è divisibile per
11.
crosetto p.21
Un numero non primo si dice composto.
crosetto p.22
Il Massimo Comun Divisore tra numeri è il più grande tra i divisori comuni ai numeri
dati.
crosetto p.22
Il Massimo Comun Divisore tra numeri è il più grande tra i divisori comuni ai numeri
dati.
crosetto p.24
Due numeri si dicono primi tra loro se non ammettono altri divisori che
l’unità.
fare casi particolari potenze: 00,
01,
10,
11,
…..
Per lo 0 il segno si omette visto che +0
e –0 sono =.
Il numero decimale che si ottiene dal
numeratore di una frazione decimale spostando la virgola verso sinistra di
tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore. 521/100 = 5,21.
La
frazione decimale si ottiene mettendo al numeratore il numero decimale senza
la virgola e al denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre
decimali del numero. 2,73 = 273/100.
La frazione generatrice di un numero
periodico è una frazione che ha per numeratore il numero che si ottiene dal
dato sopprimendo la virgola diminuito del numero formato dalla parte non
periodica (parte intera e antiperiodo) e per denominatore un numero formato da
tanti 9 quante sono le cifre del periodo e da tanti zeri quante sono le cifre
dell’antiperiodo. 0,(23) = 23/99; 1,(28) = (128-1)/99; 2,3(2) = (232-23)/90.
tip(8)
crosetto p.57
b. la radice intera è calcolata per difetto
Fra i e j manca di dire che alla fine il
numero ottenuto (156) lo si scrive sotto il 168 e lo si sottrae.
crosetto p.61
Un numero è un
cubo perfetto se i fattori primi che compongono il
numero hanno tutti esponenti divisibili per 3.
crosetto p. 63. valentini p. 45.
es.a): 2:6=3:9 => 6∙3=2∙9
b) 12:3=x:4 =>
x=(12∙4)/3=16
c) x:4=3:6 =>
x=(4∙3)/6=2
d) 9:x=x:4 =>
x=√(9∙4)=6
Crosetto cap 9 pag 79.
andruetto p.1
6 è un numero pari (vera); 5/4 è intero (falsa); Milano è bella (non è una proposizione);
(negazione)non-p è vera se e solo se p è falsa e viceversa;
(NOT)
(
congiunzione)a)un triangolo ha 3 lati b)un triangolo ha 3 angoli a)+b)
un triangolo ha 3 lati e 3 angoli (AND)
(
disgiunzione)a)leggo (non
ascolto musica) b) ascolto musica (e non leggo) a) or b) leggo, ascolto musica
o tutti e 2 (OR non esclusivo)
In matematica la “o” è sempre non esclusiva.
(asserzione) per potere dire che è vera
l’implicazione p
Þ
q occorre fare un ragionamento dove risulti che, dalla proposizione p, assunta
come vera, consegue q. Cioè occorre
dimostrare che q è conseguenza di
p.
Paolo torinese implica Paolo Italiano
(ultima frase):
q è condizione necessaria per p; (esempio: Paolo è torinese
Þ Paolo è italiano).
p
è condizione sufficiente per q; (esempio: Paolo è italiano !
Þ Paolo è torinese).
per potere asserire che pÛ q bisogna dimostrare
sia che p Þ q è
vera sia che q Þ
p è vera.
La condizione necessaria e sufficiente si indica anche con ‘se e
solo se’ nei teoremi.
Esempio: T è un triangolo con 2 lati uguali Û (se e solo se) T è un
triangolo con 2 angoli uguali (e viceversa).
Un esempio di condizione
necessaria e sufficiente: T triangolo con 2 lati uguali Û T triangolo con 2
angoli uguali.
Gli assiomi esprimono proprietà di ‘enti primitivi’
quali ad esempio punto, insieme, ecc.
Gli enti non primitivi si
definiscono, cioè si possono formulare proposizioni che li collegano con enti
primitivi (come ad esempio quando si definisce una figura geometrica come
insieme di punti)
(
diretta) se p è una proposizione
vera nella nostra teoria e riusciamo a dimostrare che p
Þ q, allora pure q è
vera.
(
per assurdo) se non-q è vera, cioè supponendo q falsa si
arriva ad una contraddizione.
Per es. dimostriamo che se a, b ÎÀ e a2 > b2 allora a > b.
Supponiamo
q falsa, cioè a
≤ b. Poichè
sappiamo che è vera l’implicazione a
≤ b Þ a
2 ≤ b
2. …
(andruetto p.9)
Chiellini p.3 Andruetto p.11
palatini p.5
La radice quadrata di 2 non è un numero razionale. Se esistesse sarebbe possibile
trovare una frazione r/s con r ed s primi tra loro. Allora si avrebbe (r/s)
2=2,
il che è assurdo perchè se r ed s sono primi tra loro lo sono anche i quadrati
e quindi non può essere r
2 divisibile per s
2.
serway (ing)
negli esercizi usare il calcolatore nel 3rz’ultimo e nel penultimo.
crosetto p.150 valentini cap 7
es. identità: (a+b)(a-b)=a2- b2.
crosetto p.151
es. equazione: 3x+14=5;
es. eq. intera: (1/3)x+4=-1;
es. eq. frazionaria: (x-2)/(x+2)=3/5
es. eq. determinata: 2x-1=0
es. eq. indeterminata: x=y-1 (ad ogni valore di y corrisponde un
valore di x)
es. eq. impossibile: x=x+6
es. eq. equivalenti: 3x=6 e (1/2)x+8=9 (x=2)
1)3x = 21
2)0x=5
3)0x=0
Esempio di soluzione:
(x+3)2/6-1/2=(x-1)/8+x(2x-3)/12
es. eq. frazionaria:
(x+6)/(x+3)=2-(x-2)/(x-3). Ev. radici da escludere saranno x=-3 e x=+3;
es. eq. letterali: (x-a)/(a-1)-1=-(x/a) Si nota che a≠1 e a≠0.
crosetto p.159
(1) 2x-4=(x/2)+11; x=10;
(2) x è la somma del 1mo
fratello;
(3) x è l’ampiezza in gradi
dell’angolo a; x = 50 gradi
4) x è la base del rettangolo; ((1/3)x + 5) (x-2) = (1/3)x∙x+42;
x=12;
5) x è il numero dei pezzi prodotti il primo giorno; x = 35;
6) x = 45 cm
crosetto p.164.
Si dice
grado di un sistema intero (un sistema le cui equazioni sono
intere) il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.
Si dice
sistema
lineare ogni sistema di primo grado , cioè costituito esclusivamente da
equazioni di primo grado.
Si dice
soluzione di un sistema ogni
gruppo di valori (uno per incognita) che soddisfano le equazioni che
compongono il sistema.
Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue soluzioni.
risolta le prima rispetto ad x
palatini p. 200
La diseguaglianza esprime che un numero è > o < di un’altro o che (se a
e b sono 2 espressioni) una espressione è > o < di un’altra per
determinati valori delle lettere che compaiono nelle espressioni.
Mentre le equazioni ad una incognita
sono verificate da uno o più valori (a seconda del grado dell’equazione)
isolati dell’incognita, una disequazione è verificata da una infinità di
valori particolari.
Fare esempi con rappresentazioni sulla
retta.
palatini p.47
Un’equazione, ridotta in forma intera, si dice di
secondo grado quando,
con il 2-do membro uguale a 0, il primo è un polinomio di 2-do grado.
Bonsignori (17) La grandezza variabile y, che assume valori ben definiti in corrispondenza ai valori assunti dalla variabile x prende quindi il nome di funzione della varibile indipendente x.
Semplici
esmpi di funzioni:
a)lo spazio percorso da un corpo in moto, che aumenta al passare del tempo;
b)la pressione osmotica di una soluzione, che varia col variare della sua concentrazionee della sua temperatura;
c)la corrente che attraversa un conduttore e che varia col variare della differenza di potenziale applicata agli estremi del conduttore.
a)se
la durata del moto è di 30 sec. a t (var.
indipendente) non si possono attribuire
valori + alti;
b)la
concentrazione non può superare i valori
della saturazione; T, se in Kelvin, risulta sempre >0;
c)la
ΔV non può assumere valori infinitamente grandi.
altro)
Biiettiva: A={1,3,5,…} (l’insieme dei numeri naturali pari) B={2,4,6,…} (l’insieme
dei numeri naturali pari} La legge: f: (
"x
ÎA, x
àx+1)
ad ogni numero A si fa corrispondere il
successivo (in B) tra A e B c’e` una corrispondenza biunivoca.
serway p.516
e è chiamata la base naturale dei logaritmi.
La la base non è specificata in log si intende 10.
Si possono verificare le proprietà.
Da base 10 a base e:
y = log x;
x = 10y ; ln x = ln 10y = y
ln 10 = log x ln 10.
Tipler A8, serway p.517.
Il rapporto tra la lunghezza ed il diametro di una circonferenza è il numero
π =3.14159…
tipler a9.
Per la conversione facendo arco/raggio per l’intera circonferenza: 2
pr/r = 2
p rad; 360
º=2p rad; 1 rad = 360
º=2p=57,3
º.
Cr(511) 360 é un numero conveniente
perchè ha molti divisori ma non ha altri ignificati. La divisione del cerchio
in 360 sembra avere origini remote: probabilmente risale ai Babilonesi, che
usavano un sistema numerico a base sessagesimale.
Bons (13) Dicesi angolo ciascuna delle 2
parti in cui un piano è diviso da 2 semirette OE e OA uscenti dallo stesso
punto, chiamato vertice. L’angolo più piccolo è detto convesso, l’altro
concavo. L’angolo retto vale π/2 = 3.1416/2 radiandi, oppure 90 gradi
tipler a11
cos J=b/c, per piccoli angoli ~ = 1.
0,262/0,259 – 1 = 0,011 = 1,1%
I due tasti a sinistra si usano solo nel
caso dei gradi sessagesimali (gradi, primi, secondi) (DEG sul visore).
Angolo giro = 360 gradi, 1 grado = 60 primi, 1 primo = 60 secondi.