Notes
Slide Show
Outline
1
Precorso di matematica
  • Facoltà di Farmacia
  • A.A. 2002/3
2
Richiami di
aritmetica
3
I sistemi di numerazione
  • Per sistema di numerazione si intende l’insieme di regole, numeri che permettono
  • di leggere e scrivere i numeri naturali
  • (1, 2, 3, …).
  • I sistemi di numerazione differiscono tra loro
  • nei segni usati ma soprattutto per il numero
  • dei simboli adottati. Questo numero definisce
  • la base del sistema di numerazione.
4
Il sistema decimale
  • Il sistema di numerazione più usato oggi dall’uomo è quello a base dieci.
  • Usa dieci simboli:
  • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  • Le cifre composte con questo sistema hanno un valore diverso a seconda della posizione che queste occupano nel numero.
5
Altri sistemi di numerazione
  • Sistema binario (a base due). Solo due cifre:
  • 0,1.
  • Sistema ottale. Otto cifre:
  • 0,1,2,3,4,5,6,7.
  • Sistema esadecimale:
  • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.
  • …
6
Le operazioni fondamentali in À
7
Addizione
8
Sottrazione
  •  Definizione
  • Si chiama differenza tra due numeri (il primo (minuendo) è ≥ (maggiore od uguale) al secondo (sottraendo)) quel numero che addizionato al secondo dà come somma il primo.
  •  Proprietà
  • Invariantiva.
9
Moltiplicazione
  •  Definizione
  • Si dice prodotto di due numeri la somma tra tanti numeri = (uguali) al primo (moltiplicando) quante sono le unità del secondo (moltiplicatore).
  •  Proprietà
  • Commutativa, associativa, dissociativa, distributiva del prodotto rispetto alla somma (o alla differenza).
10
Divisione
  •  Definizione
  • Si chiama quoziente tra due numeri (il secondo ≠ (diverso da) 0) il più grande numero che, moltiplicato per il secondo (divisore) non superi il primo (dividendo).
  •  Proprietà
  • Invariantiva, distributiva della divisione rispetto alla somma (o alla differenza).
11
Potenza
  •  Definizione
  • La potenza di un numero è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero.


  • Per indicare il prodotto di n fattori, uguali ad uno stesso numero x, si usa scrivere xn (x elevato alla n) dove xn = x∙x∙x∙x∙∙∙∙x
  • x è la base ed n l’esponente (o grado) della potenza.
12
Potenze: proprietà
  • an ∙am = an+m ;
  • an :am = an-m ;
  • (an )m = an∙m ;
  • (a∙b∙c)n = an ∙bn ∙cn ;
  • (a:b)n = an :bn ;
  • Estensione del concetto di potenza:
  • a1 = a;
  • a0 = 1;
13
Criteri di divisibilità
  • Un numero è divisibile per un’altro se la  divisione è esatta (a resto 0).
  • Un numero è divisibile per:
  •  2 se l’ultima cifra a destra è pari;
  •  3 se la somma delle cifre è divisibile per 3;
  •  5 se l’ultima cifra a destra è 0 o 5;
  •  11 se la differenza tra le cifre dispari e pari (da destra) è divisibile per 11.
14
Numeri primi
  • Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l’unità.
  • È importante sapere scomporre un numero naturale in fattori primi:
  • Si divide il numero per il suo più
  • piccolo divisore ≠ 1. Si ripete
  • l’operazione fino ad avere quoziente
  •  Il numero sarà allora = il prodotto
  • di tutti i divisori primi (660=22∙3∙5∙11)
15
M.C.D.
  • Per trovare il M.C.D. tra due o più numeri si scompongono i numeri in fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni, presi una
  • sola  volta con il
  • minore esponente.
  • Es.: il M.C.D. di 42,
  • 140, 210 sarà:
  • 42=2∙3∙7; 140=22∙5∙7;
  • 210=2∙3∙5∙7 => M.C.D.= 2∙7 = 14.
16
m.c.m.
  • Per trovare il m.c.m. tra due o più numeri si scompongono i numeri in fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni e non, presi una sola  volta con
  • il maggiore esponente.
  • Es.: il m.c.m. di 60,
  • 100, 150 sarà:
  • 60=22∙3∙5; 100=22∙52;
  • 150=2∙3∙52 => m.c.m.= 22 ∙ 3 ∙ 52 = 300.
17
Richiami sulle
frazioni
18
Frazioni: proprietà fondamentale
  • Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero (≠ 0), il valore della frazione non cambia.


  • Es.:                        (le due frazioni sono equivalenti).
  • Es.(semplificazione)
  • Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi tra loro (sono divisibili solo per 1).
19
Il minimo comune denominatore
  •  si riducono le frazioni ai minimi termini;
  •  si trova il m.c.m. fra i denominatori;
  •  si trovano le frazioni equivalenti aventi per denominatore il m.c.m..
  • Es.: per trovare il minimo
    comune denominatore di:
  • ridotte ai minimi termini risultano:
  • il m.c.m. è 12 e le frazioni saranno:
20
Operazioni: addizioni, sottrazioni
  • Per sommare (sottrarre) frazioni si trova prima il minimo comune denominatore poi si sommano (sottraggono) i numeratori.


  • Per esempio:
21
Moltiplicazioni, divisioni, potenze
  • Dopo avere semplificato le frazioni il prodotto avrà per numeratore (denominatore) il prodotto dei numeratori (denominatori).
  • La divisione tra due frazioni si trasforma nella moltiplicazione della prima per l’inverso della seconda.
  • La potenza di una frazione è = alla frazione che ha per numeratore (denominatore) la potenza del numeratore (denominatore).
22
Estensione ai numeri relativi + lo 0
  •  I numeri relativi sono numeri preceduti dal segno (+ o -). Se il segno non compare si assume positivo;
  •  Lo 0 non ha segno (+0 = -0);
  •  Il modulo (o valore assoluto) di un numero è il numero che si ottiene eliminando il segno.
  •  I numeri relativi si possono rappresentare su una retta, fissando uno 0 ed un verso +, per es. da 0 verso A. La retta si dice orientata.
23
Moltiplicazioni, divisioni
  •  si considera anche il segno che sarà positivo se i segni sono concordi e negativo se discordi;
  •  un numero moltiplicato (diviso) per -1 dà come risultato l’opposto del numero;
  •  se uno dei fattori (al numeratore) di una moltiplicazione (divisione) è 0 il risultato è 0;
  •  se il denominatore è 0 la divisione è impossibile.
24
Potenze
  • La potenza di un numero relativo ha segno:
  •  + se la base ha segno + o se ha segno – e l’esponente è pari;
  •  - se la base ha segno - e l’esponente è dispari;
  •  la potenza con esponente negativo (base ≠ 0) è = a una frazione che ha come numeratore 1 e come denominatore la potenza con esponente positivo.
25
Frazioni « numeri (decimali)
  • Una frazione decimale è una frazione che ha 10 (o una sua potenza) al denominatore.
  • Un numero decimale è composto da una parte intera e da una decimale separate da una virgola.
  • Un numero decimale può essere:
  •  limitato, se scomposto in fattori primi contiene solo i fattori 2 e/o 5;
  •  periodico misto (semplice) se (non) contiene i fattori 2 e/o 5 e ne contiene altri.
26
Notazione scientifica
27
Notazione scientifica (es.)
28
Quadrati e radici quadrate
  •  Il quadrato di un numero è il prodotto del numero per se stesso;


  •  La radice quadrata di un numero è il massimo numero il cui quadrato non superi (≤) il numero dato.


29
Il calcolo della
  • Calcolo della radice quadrata di 26876:
  •  scomporre il numero in gruppi di due
    cifre da destra verso sinistra;
  •  si calcola la radice intera del primo
    gruppo a sinistra e lo si scrive;
  •  si calcola il quadrato e lo si sottrae
    dal primo gruppo;
  •  si abbassa il secondo gruppo
    scrivendolo a destra del primo resto;
30
Come si calcola la
  •  si separa l’ultima cifra a destra
    e si esamina il numero (16);
  •  si calcola il doppio della prima
    cifra della radice e lo si scrive;
  •  si calcola quante volte questo
    numero (2) è contenuto del
    numero esaminato (16);
  •  si scrive il numero ottenuto (8) accanto a quello scritto in f.. Il numero così ottenuto
  • (28) lo si moltiplica ancora per il numero stesso (8);
31
Come si calcola la
  •  il numero ottenuto supera
    quello ottenuto in d.. Non può
    essere una cifra della radice.
    Si abbassa di una unità il numero
    ottenuto in g e si ripete la procedura in h fino a trovare un numero ≤ 168 (ottenuto in d.) e si scrive il numero ottenuto in g o modificato.
  •  si abbassa il terzo gruppo (76) ponendolo alla destra della differenza (12) tra il numero ottenuto in d.(168) e quello ottenuto in i.(156).
32
Come si calcola la
  •  si separa l’ultima cifra a destra
    e si ripete il ragionamento prece-
    dente: si calcola il doppio del nu-
    mero il alto a destra (16∙2=32) e
    lo si scrive. Poi si trova quante
    volte sta nel numero in esame
    (127). Si trova: 127:32=3. Scriven-
    do 3 a fianco di 32 e moltiplicando ancora per
    3 si ottiene 969<1276. Allora 3 è la terza e ultima cifra della radice quadrata.
33
Cubo e radice cubica
  • Si chiama cubo di un numero il prodotto di tre fattori uguali al numero dato.


  • La radice cubica di un numero è quel numero il cui cubo riproduce il numero dato.


  • Se il numero non è un cubo perfetto la radice cubica non è esatta. La radice cubica approssimata per difetto è il massimo numero che elevato al cubo non supera il numero dato.
34
Proporzioni e
percentuali
35
Proporzioni: definizione
  •  4 numeri in ordine sono in proporzione se il rapporto tra il primo ed il secondo è = a quello tra il terzo ed il quarto;
  •  i 4 numeri si dicono termini della proporz.;
  •  il 1º ed il 3º si dicono antecedenti;
  •  il 2º ed il 4º conseguenti;
  •  il 1º ed il 4º estremi;
  •  il 2º ed il 3º medi.
36
Proporzioni: proprietà
  •  (fondamentale) In una proporzione il prodotto dei medi è = a quello degli estremi;
  •  Il valore di un medio (incognito) è = al prodotto degli estremi diviso per l’altro medio;
  •  Un estremo (incognito) è = al prodotto degli medi diviso per l’altro estremo;
  •  Il medio proporzionale tra 2 numeri è = alla radice quadrata del loro prodotto;
37
Gruppi di numeri proporzionali
  • Due gruppi di numeri sono direttamente (inversamente) proporzionali se il rapporto (prodotto) tra numeri corrispondenti rimane costante.
38
Calcolo percentuale
  • Si indica con:
  •  r il tasso percentuale (il ‘tanto per cento (%) o per mille (‰)’ con cui si esprime la misura di una grandezza rispetto a un’altra);
  •  S la somma sulla quale si fanno i calcoli;
  •  P la percentuale;
  • Allora…
39
Calcolo della percentuale
  • La percentuale di un numero si ottiene moltiplicando il numero per il tasso percentuale e dividendo per 100.
40
Calcolo della somma
  • Per ottenere la somma sulla quale
    è stata calcolata la percentuale
    si moltiplica la percentuale per
    100 e si divide per il tasso.
41
Calcolo del tasso
  • Il tasso percentuale si ottiene
    moltiplicando la percentuale per
  • 100 e dividendo per la somma.
42
Cenni di logica
matematica
43
Il linguaggio della logica mat.
  •  Una proposizione è un’affermazione che può essere solo vera o falsa;
  •  se p è una proposizione non-p è la sua nega-zione. Non-p è vera se e solo se p è falsa;
  •  la congiunzione “p e q” di 2 proposizioni p e q è vera se e solo se sia p che q sono vere;
  •  la disgiunzione “p o q” di 2 proposizioni p e q è vera se almeno una delle 2 è vera, falsa se entrambe p o q sono false.
44
Il linguaggio
  •  p Þ q (p implica q) è vera se l’asserzione q è vera ed è falsa se q è falsa;
  •  quando p Þ q è vera l’implicazione si può anche chiamare teorema con p che è l’ipotesi e q la tesi;


  • In ogni teorema l’ipotesi (p) vera è sufficien- te per la verità della tesi (q); la tesi (q) vera è necessaria per la verità dell’ipotesi (p).
45
Il linguaggio 2
  •  quando p Þ q e anche q Þ p si ha una condizione sia necessaria sia sufficiente, che si indica con p Û (se e solo se) q;
  •  un assioma è una proposizione che si accetta senza dimostrazione;
  •  una proposizione, in matematica, si può dedurre da una conseguenza logica di assiomi e/o da altre proprietà (teoremi).
46
Metodi di dimostrazione
  •  diretta: se p è una proposizione vera nella nostra teoria e si dimostra che p implica q (p Þ q) allora pure q è vera;


  •  per assurdo: se negando la tesi (non-q vera) si arriva ad una contraddizione (p falsa) la proposizione è dimostrata;
47
Nozioni di teoria degli insiemi
48
Numeri razionali e irrazionali
  • L’insieme dei numeri interi e frazionari, positivi e negativi e lo 0, si chiamano numeri razionali.
  • Tra due numeri (o classi separate di numeri) razionali esistono numeri per i quali non è possibile trovare frazioni generatrici. Tali numeri si dicono irrazionali.
  • L’insieme dei numeri razionali ed irrazionali costituisce il campo dei numeri reali (Â).
49
Le potenze
  • Riguardo alle operazioni sulle potenze possiamo esprimere le seguenti (e generali) proprietà:
  •  a-m= 1/am ;
  •  am∙an = am+n ;
  •  am/an = am-n ;
  •  (am)n = amn ;
  •  a1/n = n√a ;
  •  am/n = n√am ;
50
Equazioni e
disequazioni
51
Identità
  •  Due espressioni algebriche unite dal segno = formano un’uguaglianza. L’espressione a sinistra (destra) dell’= è detta primo (secondo) membro dell’uguaglianza.
  •  L’identità è un’uguaglianza verificata per qualsiasi valore assegnato alle lettere che vi compaiono (ad eccezione dei valori che annullano gli eventuali denominatori).
52
Equazioni
  •  L’equazione è un’uguaglianza tra 2 espres- sioni algebriche verificata solo per particolari valori delle lettere (dette incognite). Quei valori si chiamano radici o soluzioni;
  •  un’equazione si dice intera se le incognite non sono al denominatore, frazionaria se lo sono.
  •  per le equazioni ad una incognita il grado è dato dal max valore dell’esponente dell’incognita.
53
Le equazioni: definizioni
  • Un’equazione può essere:
  •  determinata, se ammette un numero finito di soluzioni;
  •  indeterminata, se ha un numero infinito (¥) di soluzioni;
  •  impossibile, se non ammette alcuna soluzione.
  • Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse radici.
54
Principi di equivalenza
  •  Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione (anche con l’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.


  •  Moltiplicando o dividendo i 2 membri di una equazione per un’espressione diversa da 0 si ottiene un’equazione equivalente alla data.
55
Risoluzione e verifica (1º grado)
  • Usando i 2 principi di equivalenza l’equazione si riduce in un’altra: ax=b (forma normale). à:
  •  a ≠ 0: x = b / a;
  •  a = 0, b ≠ 0: l’equazione è impossibile;
  •  a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata;
  • Dopo avere risolto un’eq. si può controllare che la soluzione soddisfi l’eq. stessa.
  • Sostituendo la soluzione all’incognita si deve
  • ottenere una identità.
56
Equazioni frazionarie e letterali
  •  Se l’eq. è frazionaria il metodo di soluzione è lo stesso di quella intera ma bisogna escludere le soluzioni che annullano i denominatori.
  •  Se compaiono altre lettere oltre all’incognita x si usa lo stesso metodo di soluzione delle eq. intere. Le lettere devono essere considerate termini noti e non devono annullare eventuali denominatori.
57
Problemi risolubili con equazioni di primo grado ad una incognita
  •  Trovare un numero tale che il suo doppio diminuito di 4 sia uguale alla sua metà aumentata di 11;
  •  Due fratelli ereditano una somma di 90000 € e il 2º fratello riceve i 4/5 della somma ricevuta dal 1º. Quali sono le somme?
  •  In un triangolo l’angolo ACE ĉ è = al doppio dell’ang. â diminuito di 40º e l’ang.ê = all’ang. ĉ aumentato di 10º. Quali sono gli angoli ?
58
Altri problemi risolubili con equaz. di primo grado ad una incognita
  •  In un rettangolo l’alt.(h) è 1/3 della base (b). Se h aumenta di 5 e b diminuisce di 2 l’area è aumentata di 45. È vero?
  •  Un operaio produce 128 pezzi in 3 giorni. Il 2º produce 8 pezzi in più del 1º ed il 3º 7 in più del 2º. Quanti pezzi produce ogni giorno?
  •  2 pesi di 7 e 3 Kg sono appesi ad un’asta lunga 150 cm. Qual è il punto
    a cui deve essere sospesa
    l’asta per l’equilibrio?
59
Sistemi di equazioni di 1º grado
  • Si dice sistema di equazioni l’insieme di 2 o più equazioni, in più incognite, che debbono essere soddisfatte dagli stessi valori delle incognite.
  • Un sistema lineare è costituito esclusiva-
  • mente da equazioni di primo grado.
  • Per risolvere un sistema dobbiamo trovare le sue soluzioni (i valori, uno per incognita, che soddisfano le equazioni).
60
Un metodo di soluzione (sostituzione)
61
Diseguaglianze (definizione)
  • Si può chiamare diseguaglianza ogni scrittura della forma a > b oppure a < b.
62
Diseguaglianze (princìpi)
  •  elevando a potenza (con esp. positivo) o estraendo a radice i due membri di una diseguaglianza se ne ottiene un’altra con lo stesso verso;
  • Dai princìpi della pag. precedente segue che:
  •  in una diseguaglianza si possono eliminare i denominatori moltiplicando i termini per un multiplo comune dei denominatori purchè si tenga conto del segno del moltiplicatore;
63
Intervalli
  • Se a, b Î Â, a < b, l’insieme (infinito) di numeri reali x compresi tra a e b (a<x<b) costituiscono un intervallo, che si indica (a,b).
  • Tutti i numeri x ≥ a formano l’intervallo (a,+¥).
  • Tutti i numeri x ≤ a formano l’intervallo (-¥,a).
  • I 3 intervalli si possono rappresentare
  • graficamente nel modo seguente:
64
Disequazioni di 1º grado
  • Risolvere una disequazione significa trovare l’intervallo (o gli intervalli) dei valori che la soddisfano.
  • Una disequazione ad una incognita è di 1º grado se applicando i princìpi delle disegua- glianze, si può ridurre alla forma: ax > b.
  • Le soluzioni di questa disequazione sono:
  •                 se a > 0        x > b / a;
  •                 se a < 0        x < b / a.
65
Fattorizzazione
  • Alcune formule utili per raccogliere dei termini a fattore comune e semplificare le equazioni sono:


  •  2ax2 + 6ax + 10a = 2a(x2 + 3x + 5)
  •  x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
  •  x2 - y2 = (x + y)(x – y)
66
Equazioni di secondo grado
  • Una eq. di 2º grado in una incognita ha la forma generale del tipo:


  • ax2+bx+c =0, dove a, b, c Î Â si chiamano coefficienti. c è anche detto termine noto.


  • a deve essere ≠ 0 (se = 0 l’eq. è di 1º grado).
  • Se b o c = 0 l’eq. si dice incompleta.
67
Risoluzione dell’eq. incompleta
  • I vari casi dell’equazione incompleta sono:


  •  c = 0 (ax2+bx=0) à x1 = 0 e x2 = -b/a;


  •  b = 0 (ax2+c =0) à x1,2 = ± √-(c/a);


  •  b =0, c= 0 (ax2=0) à x1,2 = 0
68
Soluzione dell’eq. di 2º grado
  • Si dimostra che l’eq. ax2+bx+c =0 ha per  soluzioni:
69
Le funzioni
70
Le funzioni
71
Tipi di funzioni
72
Tipi di funzioni (2)
73
Rappresentazione di funzioni
74
I logaritmi
75
I logaritmi: definizione
  • Esprimiamo il numero x (Î Â+) come potenza  di un’altro numero a (chiamato base): x = ay.


  • Il logaritmo di x rispetto alla base a è l’esponente y al quale si eleva la base per soddisfare l’espressione x = ay: y = loga x.
76
I logaritmi: notazioni
  • In pratica le basi più usate sono la base 10 e la base e = 2,718… (numero di Nepero).


  • I logaritmi decimali sono indicati nel seguente modo:
  • y = log10x  (oppure  x = 10y).


  • Usando i logaritmi naturali o neperiani si ha: y = lnex (oppure  x = ey).
77
I logaritmi: proprietà
  • Alcune proprietà valide per tutte le basi:
  •  log(a∙b) = log a + log b;
  •  log(a/b) = log a – log b;
  •  log(an) = n∙log a;
  • Poiché a1 = a e a0 = 1,
  •  loga(a) = 1;
  •  loga(1) = 0;
78
I logaritmi: proprietà (2)
  • Per trasformare i logaritmi da base 10 a base e dalle definizioni di logaritmo:
  •  y = log x;
  •  x = 10y;
  • moltiplicando i membri di 2. per lne:
  •  lnex = lne(10)∙y =(da 1.)= lne(10)∙log10x =
  •               = 2.302585∙log10x
  • Infine alcune proprietà del logaritmi naturali:
  •  lnee = 1; ln(ea) = a; ln(1/a) = - ln a
79
Brevi cenni di geometria
euclidea
80
Semplici aree
  •  triangolo: A=1/2∙a∙h, somma angoli interni;
  •  teorema di Pitagora: a2=b2+c2;
  •  rettangolo: A=a∙b;


  •  parallelogramma: A=a∙h;
81
Semplici aree e volumi
  •  cerchio: Circonferenza = 2∙π∙r;
                    Area = π∙r2


  •  cilindro: Superficie lat. = 2∙π∙r∙l,
                    Volume = π∙r2∙l;


  •  sfera: Area = 4∙π∙r2 ,
                Volume = 4/3∙π∙r3.


82
Richiami di
trigonometria
83
Misure di angoli
  • Per misurare l’angolo tra 2 rette che
  • si intersecano si traccia una circonfe-
  • renza con centro l’intersezione delle rette e la si divide in 360 parti (gradi). Il numero di gra- di contenuto nell’arco è la misura dell’angolo.
  • L’unità di misura più usata in campo scientifico è il radiante (rad). Se s è la lunghezza dell’arco ed r il raggio, l’angolo J, in radianti, è definito come: J = s/r.
84
Conversione gradi-radianti
85
Trigonometria: definizioni
86
Trigonometria: definizioni (2)
87
Trigonometria: definizioni (3)
88
Relazioni trigonometriche
89
Il teorema di Carnot
90
Trigonometria: esercizio 1
  • Usando il triangolo in figura
  • trovare sin, cos, tan di 45º;
91
Trigonometria: esercizio 2
  • Il sin 30º vale ½. Si trovino i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo con un
  • angolo di 30º (e uno di 60º).
92
Trigonometria: esercizio 3
  • Di quanto differiscono tra loro sin J, cos J, tan J, se J = 15º ?
93
Cenni di geometria
analitica
94
Diagrammi cartesiani
  • Un sistema di assi cartesiani x
  • (ascisse) e y (ordinate) consi-
  • ste in due rette complanari e
  • ┴ (perpendicolari) tra loro.
    A ogni coppia di numeri reali si può fare corrispondere un punto sul piano.
  • La distanza d tra due punti di coordinate (x1,y1) e (x2,y2) è:
  • d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 .
95
La retta e il cerchio
96
Un esempio di relazione lineare
97
Ellisse, parabola, iperbole
98
Es. di relazione quadratica
99
Una relazione inversa
100
L’uso del calcolatore tascabile
101
Un calcolatore tascabile
102
Alcune semplici
funzioni
103
Il tasto “MODE”
104
La notazione
105
Logaritmi ed esponenziali
106
La statistica
107
Le funzioni trigonometriche