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- Facoltà di Farmacia
- A.A. 2002/3
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- Per sistema di numerazione si intende l’insieme di regole, numeri che
permettono
- di leggere e scrivere i numeri naturali
- (1, 2, 3, …).
- I sistemi di numerazione differiscono tra loro
- nei segni usati ma soprattutto per il numero
- dei simboli adottati. Questo numero definisce
- la base del sistema di numerazione.
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- Il sistema di numerazione più usato oggi dall’uomo è quello a base
dieci.
- Usa dieci simboli:
- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
- Le cifre composte con questo sistema hanno un valore diverso a seconda
della posizione che queste occupano nel numero.
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- Sistema binario (a base due). Solo due cifre:
- 0,1.
- Sistema ottale. Otto cifre:
- 0,1,2,3,4,5,6,7.
- Sistema esadecimale:
- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.
- …
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- Definizione
- Si chiama differenza tra due numeri (il primo (minuendo) è ≥
(maggiore od uguale) al secondo (sottraendo)) quel numero che
addizionato al secondo dà come somma il primo.
- Proprietà
- Invariantiva.
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- Definizione
- Si dice prodotto di due numeri la somma tra tanti numeri = (uguali) al
primo (moltiplicando) quante sono le unità del secondo (moltiplicatore).
- Proprietà
- Commutativa, associativa, dissociativa, distributiva del prodotto
rispetto alla somma (o alla differenza).
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- Definizione
- Si chiama quoziente tra due numeri (il secondo ≠ (diverso da) 0)
il più grande numero che, moltiplicato per il secondo (divisore) non
superi il primo (dividendo).
- Proprietà
- Invariantiva, distributiva della divisione rispetto alla somma (o alla
differenza).
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- Definizione
- La potenza di un numero è il prodotto di più fattori tutti uguali a quel
numero.
- Per indicare il prodotto di n fattori, uguali ad uno stesso numero x, si
usa scrivere xn (x elevato alla n) dove xn = x∙x∙x∙x∙∙∙∙x
- x è la base ed n l’esponente (o grado) della potenza.
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- an ∙am = an+m ;
- an :am = an-m ;
- (an )m = an∙m ;
- (a∙b∙c)n = an ∙bn ∙cn
;
- (a:b)n = an :bn ;
- Estensione del concetto di potenza:
- a1 = a;
- a0 = 1;
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- Un numero è divisibile per un’altro se la divisione è esatta (a resto 0).
- Un numero è divisibile per:
- 2 se l’ultima cifra a destra è
pari;
- 3 se la somma delle cifre è
divisibile per 3;
- 5 se l’ultima cifra a destra è 0
o 5;
- 11 se la differenza tra le cifre
dispari e pari (da destra) è divisibile per 11.
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- Un numero si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per
l’unità.
- È importante sapere scomporre un numero naturale in fattori primi:
- Si divide il numero per il suo più
- piccolo divisore ≠ 1. Si ripete
- l’operazione fino ad avere quoziente
- Il numero sarà allora = il
prodotto
- di tutti i divisori primi (660=22∙3∙5∙11)
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- Per trovare il M.C.D. tra due o più numeri si scompongono i numeri in
fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni, presi una
- sola volta con il
- minore esponente.
- Es.: il M.C.D. di 42,
- 140, 210 sarà:
- 42=2∙3∙7; 140=22∙5∙7;
- 210=2∙3∙5∙7 => M.C.D.= 2∙7 = 14.
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- Per trovare il m.c.m. tra due o più numeri si scompongono i numeri in
fattori primi e si fa il prodotto dei fattori primi comuni e non, presi
una sola volta con
- il maggiore esponente.
- Es.: il m.c.m. di 60,
- 100, 150 sarà:
- 60=22∙3∙5; 100=22∙52;
- 150=2∙3∙52 => m.c.m.= 22 ∙ 3
∙ 52 = 300.
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- Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso
numero (≠ 0), il valore della frazione non cambia.
- Es.: (le
due frazioni sono equivalenti).
- Es.(semplificazione)
- Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e
denominatore sono primi tra loro (sono divisibili solo per 1).
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- si riducono le frazioni ai minimi
termini;
- si trova il m.c.m. fra i
denominatori;
- si trovano le frazioni
equivalenti aventi per denominatore il m.c.m..
- Es.: per trovare il minimo
comune denominatore di:
- ridotte ai minimi termini risultano:
- il m.c.m. è 12 e le frazioni saranno:
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- Per sommare (sottrarre) frazioni si trova prima il minimo comune
denominatore poi si sommano (sottraggono) i numeratori.
- Per esempio:
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- Dopo avere semplificato le frazioni il prodotto avrà per numeratore
(denominatore) il prodotto dei numeratori (denominatori).
- La divisione tra due frazioni si trasforma nella moltiplicazione della
prima per l’inverso della seconda.
- La potenza di una frazione è = alla frazione che ha per numeratore
(denominatore) la potenza del numeratore (denominatore).
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- I numeri relativi sono numeri
preceduti dal segno (+ o -). Se il segno non compare si assume positivo;
- Lo 0 non ha segno (+0 = -0);
- Il modulo (o valore assoluto) di
un numero è il numero che si ottiene eliminando il segno.
- I numeri relativi si possono
rappresentare su una retta, fissando uno 0 ed un verso +, per es. da 0
verso A. La retta si dice orientata.
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- si considera anche il segno che
sarà positivo se i segni sono concordi e negativo se discordi;
- un numero moltiplicato (diviso)
per -1 dà come risultato l’opposto del numero;
- se uno dei fattori (al
numeratore) di una moltiplicazione (divisione) è 0 il risultato è 0;
- se il denominatore è 0 la
divisione è impossibile.
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- La potenza di un numero relativo ha segno:
- + se la base ha segno + o se ha
segno – e l’esponente è pari;
- - se la base ha segno - e
l’esponente è dispari;
- la potenza con esponente negativo
(base ≠ 0) è = a una frazione che ha come numeratore 1 e come
denominatore la potenza con esponente positivo.
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- Una frazione decimale è una frazione che ha 10 (o una sua potenza) al
denominatore.
- Un numero decimale è composto da una parte intera e da una decimale
separate da una virgola.
- Un numero decimale può essere:
- limitato, se scomposto in fattori
primi contiene solo i fattori 2 e/o 5;
- periodico misto (semplice) se
(non) contiene i fattori 2 e/o 5 e ne contiene altri.
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- Il quadrato di un numero è il
prodotto del numero per se stesso;
- La radice quadrata di un numero è
il massimo numero il cui quadrato non superi (≤) il numero dato.
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- Calcolo della radice quadrata di 26876:
- scomporre il numero in gruppi di
due
cifre da destra verso sinistra;
- si calcola la radice intera del
primo
gruppo a sinistra e lo si scrive;
- si calcola il quadrato e lo si
sottrae
dal primo gruppo;
- si abbassa il secondo gruppo
scrivendolo a destra del primo resto;
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- si separa l’ultima cifra a destra
e si esamina il numero (16);
- si calcola il doppio della
prima
cifra della radice e lo si scrive;
- si calcola quante volte
questo
numero (2) è contenuto del
numero esaminato (16);
- si scrive il numero ottenuto (8)
accanto a quello scritto in f.. Il numero così ottenuto
- (28) lo si moltiplica ancora per il numero stesso (8);
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- il numero ottenuto supera
quello ottenuto in d.. Non può
essere una cifra della radice.
Si abbassa di una unità il numero
ottenuto in g e si ripete la procedura in h fino a trovare un
numero ≤ 168 (ottenuto in d.) e si scrive il numero ottenuto in g
o modificato.
- si abbassa il terzo gruppo (76)
ponendolo alla destra della differenza (12) tra il numero ottenuto in
d.(168) e quello ottenuto in i.(156).
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- si separa l’ultima cifra a
destra
e si ripete il ragionamento prece-
dente: si calcola il doppio del nu-
mero il alto a destra (16∙2=32) e
lo si scrive. Poi si trova quante
volte sta nel numero in esame
(127). Si trova: 127:32=3. Scriven-
do 3 a fianco di 32 e moltiplicando ancora per
3 si ottiene 969<1276. Allora 3 è la terza e ultima cifra
della radice quadrata.
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- Si chiama cubo di un numero il prodotto di tre fattori uguali al numero
dato.
- La radice cubica di un numero è quel numero il cui cubo riproduce il
numero dato.
- Se il numero non è un cubo perfetto la radice cubica non è esatta. La
radice cubica approssimata per difetto è il massimo numero che elevato
al cubo non supera il numero dato.
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- 4 numeri in ordine sono in
proporzione se il rapporto tra il primo ed il secondo è = a quello tra
il terzo ed il quarto;
- i 4 numeri si dicono termini
della proporz.;
- il 1º ed il 3º si dicono antecedenti;
- il 2º ed il 4º conseguenti;
- il 1º ed il 4º estremi;
- il 2º ed il 3º medi.
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- (fondamentale) In una proporzione
il prodotto dei medi è = a quello degli estremi;
- Il valore di un medio (incognito)
è = al prodotto degli estremi diviso per l’altro medio;
- Un estremo (incognito) è = al
prodotto degli medi diviso per l’altro estremo;
- Il medio proporzionale tra 2
numeri è = alla radice quadrata del loro prodotto;
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- Due gruppi di numeri sono direttamente (inversamente) proporzionali se
il rapporto (prodotto) tra numeri corrispondenti rimane costante.
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- Si indica con:
- r il tasso percentuale (il ‘tanto
per cento (%) o per mille (‰)’ con cui si esprime la misura di una
grandezza rispetto a un’altra);
- S la somma sulla quale si fanno i
calcoli;
- P la percentuale;
- Allora…
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- La percentuale di un numero si ottiene moltiplicando il numero per il
tasso percentuale e dividendo per 100.
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- Per ottenere la somma sulla quale
è stata calcolata la percentuale
si moltiplica la percentuale per
100 e si divide per il tasso.
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- Il tasso percentuale si ottiene
moltiplicando la percentuale per
- 100 e dividendo per la somma.
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- Una proposizione è
un’affermazione che può essere solo vera o falsa;
- se p è una proposizione non-p è
la sua nega-zione. Non-p è vera se e solo se p è falsa;
- la congiunzione “p e q” di 2
proposizioni p e q è vera se e solo se sia p che q sono vere;
- la disgiunzione “p o q” di 2
proposizioni p e q è vera se almeno una delle 2 è vera, falsa se
entrambe p o q sono false.
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- p Þ q (p implica q) è vera se l’asserzione q è vera ed è falsa
se q è falsa;
- quando p Þ q è vera l’implicazione si può anche chiamare teorema con p
che è l’ipotesi e q la tesi;
- In ogni teorema l’ipotesi (p) vera è sufficien- te per la verità della
tesi (q); la tesi (q) vera è necessaria per la verità dell’ipotesi (p).
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- quando p Þ q e anche q Þ p si ha una condizione sia necessaria sia sufficiente, che
si indica con p Û (se e
solo se) q;
- un assioma è una proposizione che
si accetta senza dimostrazione;
- una proposizione, in matematica,
si può dedurre da una conseguenza logica di assiomi e/o da altre
proprietà (teoremi).
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- diretta: se p è una proposizione
vera nella nostra teoria e si dimostra che p implica q (p Þ q) allora pure q è vera;
- per assurdo: se negando la tesi
(non-q vera) si arriva ad una contraddizione (p falsa) la proposizione è
dimostrata;
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- L’insieme dei numeri interi e frazionari, positivi e negativi e lo 0, si
chiamano numeri razionali.
- Tra due numeri (o classi separate di numeri) razionali esistono numeri
per i quali non è possibile trovare frazioni generatrici. Tali numeri si
dicono irrazionali.
- L’insieme dei numeri razionali ed irrazionali costituisce il campo dei
numeri reali (Â).
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- Riguardo alle operazioni sulle potenze possiamo esprimere le seguenti (e
generali) proprietà:
- a-m= 1/am ;
- am∙an
= am+n ;
- am/an = am-n
;
- (am)n = amn
;
- a1/n = n√a
;
- am/n = n√am
;
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- Due espressioni algebriche unite
dal segno = formano un’uguaglianza. L’espressione a sinistra (destra)
dell’= è detta primo (secondo) membro dell’uguaglianza.
- L’identità è un’uguaglianza
verificata per qualsiasi valore assegnato alle lettere che vi compaiono
(ad eccezione dei valori che annullano gli eventuali denominatori).
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- L’equazione è un’uguaglianza tra
2 espres- sioni algebriche verificata solo per particolari valori delle
lettere (dette incognite). Quei valori si chiamano radici o soluzioni;
- un’equazione si dice intera se le
incognite non sono al denominatore, frazionaria se lo sono.
- per le equazioni ad una incognita
il grado è dato dal max valore dell’esponente dell’incognita.
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- Un’equazione può essere:
- determinata, se ammette un numero
finito di soluzioni;
- indeterminata, se ha un numero
infinito (¥) di soluzioni;
- impossibile, se non ammette
alcuna soluzione.
- Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse radici.
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- Aggiungendo o sottraendo ad
entrambi i membri di una equazione una stessa espressione (anche con
l’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.
- Moltiplicando o dividendo i 2
membri di una equazione per un’espressione diversa da 0 si ottiene
un’equazione equivalente alla data.
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- Usando i 2 principi di equivalenza l’equazione si riduce in un’altra:
ax=b (forma normale). à:
- a ≠ 0: x = b / a;
- a = 0, b ≠ 0: l’equazione è
impossibile;
- a = 0, b = 0: l’equazione è
indeterminata;
- Dopo avere risolto un’eq. si può controllare che la soluzione soddisfi
l’eq. stessa.
- Sostituendo la soluzione all’incognita si deve
- ottenere una identità.
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- Se l’eq. è frazionaria il metodo
di soluzione è lo stesso di quella intera ma bisogna escludere le
soluzioni che annullano i denominatori.
- Se compaiono altre lettere oltre
all’incognita x si usa lo stesso metodo di soluzione delle eq. intere.
Le lettere devono essere considerate termini noti e non devono annullare
eventuali denominatori.
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- Trovare un numero tale che il suo
doppio diminuito di 4 sia uguale alla sua metà aumentata di 11;
- Due fratelli ereditano una somma
di 90000 € e il 2º fratello riceve i 4/5 della somma ricevuta dal 1º.
Quali sono le somme?
- In un triangolo l’angolo ACE
ĉ è = al doppio dell’ang. â diminuito di 40º e l’ang.ê = all’ang.
ĉ aumentato di 10º. Quali sono gli angoli ?
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- In un rettangolo l’alt.(h) è 1/3
della base (b). Se h aumenta di 5 e b diminuisce di 2 l’area è aumentata
di 45. È vero?
- Un operaio produce 128 pezzi in 3
giorni. Il 2º produce 8 pezzi in più del 1º ed il 3º 7 in più del 2º.
Quanti pezzi produce ogni giorno?
- 2 pesi di 7 e 3 Kg sono appesi ad
un’asta lunga 150 cm. Qual è il punto
a cui deve essere sospesa
l’asta per l’equilibrio?
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- Si dice sistema di equazioni l’insieme di 2 o più equazioni, in più
incognite, che debbono essere soddisfatte dagli stessi valori delle
incognite.
- Un sistema lineare è costituito esclusiva-
- mente da equazioni di primo grado.
- Per risolvere un sistema dobbiamo trovare le sue soluzioni (i valori,
uno per incognita, che soddisfano le equazioni).
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- Si può chiamare diseguaglianza ogni scrittura della forma a > b
oppure a < b.
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- elevando a potenza (con esp.
positivo) o estraendo a radice i due membri di una diseguaglianza se ne
ottiene un’altra con lo stesso verso;
- Dai princìpi della pag. precedente segue che:
- in una diseguaglianza si possono
eliminare i denominatori moltiplicando i termini per un multiplo comune
dei denominatori purchè si tenga conto del segno del moltiplicatore;
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- Se a, b Î Â, a < b, l’insieme (infinito) di
numeri reali x compresi tra a e b (a<x<b) costituiscono un intervallo,
che si indica (a,b).
- Tutti i numeri x ≥ a formano l’intervallo (a,+¥).
- Tutti i numeri x ≤ a formano l’intervallo (-¥,a).
- I 3 intervalli si possono rappresentare
- graficamente nel modo seguente:
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- Risolvere una disequazione significa trovare l’intervallo (o gli
intervalli) dei valori che la soddisfano.
- Una disequazione ad una incognita è di 1º grado se applicando i princìpi
delle disegua- glianze, si può ridurre alla forma: ax > b.
- Le soluzioni di questa disequazione sono:
- se a > 0 x > b / a;
- se a < 0 x < b / a.
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- Alcune formule utili per raccogliere dei termini a fattore comune e
semplificare le equazioni sono:
- 2ax2 + 6ax + 10a =
2a(x2 + 3x + 5)
- x2 + 2xy + y2
= (x + y)2
- x2 - y2
= (x + y)(x – y)
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- Una eq. di 2º grado in una incognita ha la forma generale del tipo:
- ax2+bx+c =0, dove a, b, c Î Â si
chiamano coefficienti. c è anche detto termine noto.
- a deve essere ≠ 0 (se = 0 l’eq. è di 1º grado).
- Se b o c = 0 l’eq. si dice incompleta.
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- I vari casi dell’equazione incompleta sono:
- c = 0 (ax2+bx=0) à x1 = 0 e x2
= -b/a;
- b = 0 (ax2+c =0) à x1,2 = ± √-(c/a);
- b =0, c= 0 (ax2=0) à x1,2 = 0
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- Si dimostra che l’eq. ax2+bx+c =0 ha per soluzioni:
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- Esprimiamo il numero x (Î Â+) come potenza di un’altro numero a (chiamato base): x
= ay.
- Il logaritmo di x rispetto alla base a è l’esponente y al quale si eleva
la base per soddisfare l’espressione x = ay: y = loga
x.
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- In pratica le basi più usate sono la base 10 e la base e = 2,718…
(numero di Nepero).
- I logaritmi decimali sono indicati nel seguente modo:
- y = log10x
(oppure x = 10y).
- Usando i logaritmi naturali o neperiani si ha: y = lnex
(oppure x = ey).
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- Alcune proprietà valide per tutte le basi:
- log(a∙b) = log a + log b;
- log(a/b) = log a – log b;
- log(an) = n∙log
a;
- Poiché a1 = a e a0 = 1,
- loga(a) = 1;
- loga(1) = 0;
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- Per trasformare i logaritmi da base 10 a base e dalle definizioni di
logaritmo:
- y = log x;
- x = 10y;
- moltiplicando i membri di 2. per lne:
- lnex = lne(10)∙y
=(da 1.)= lne(10)∙log10x =
- = 2.302585∙log10x
- Infine alcune proprietà del logaritmi naturali:
- lnee = 1; ln(ea)
= a; ln(1/a) = - ln a
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- triangolo: A=1/2∙a∙h,
somma angoli interni;
- teorema di Pitagora: a2=b2+c2;
- rettangolo: A=a∙b;
- parallelogramma: A=a∙h;
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- cerchio: Circonferenza = 2∙π∙r;
Area = π∙r2
- cilindro: Superficie lat. =
2∙π∙r∙l,
Volume = π∙r2∙l;
- sfera: Area = 4∙π∙r2
,
Volume =
4/3∙π∙r3.
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- Per misurare l’angolo tra 2 rette che
- si intersecano si traccia una circonfe-
- renza con centro l’intersezione delle rette e la si divide in 360 parti
(gradi). Il numero di gra- di contenuto nell’arco è la misura
dell’angolo.
- L’unità di misura più usata in campo scientifico è il radiante (rad). Se
s è la lunghezza dell’arco ed r il raggio, l’angolo J, in radianti, è definito come: J = s/r.
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- Usando il triangolo in figura
- trovare sin, cos, tan di 45º;
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- Il sin 30º vale ½. Si trovino i rapporti tra i lati di un triangolo
rettangolo con un
- angolo di 30º (e uno di 60º).
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- Di quanto differiscono tra loro sin J, cos J, tan
J, se J = 15º ?
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- Un sistema di assi cartesiani x
- (ascisse) e y (ordinate) consi-
- ste in due rette complanari e
- ┴ (perpendicolari) tra loro.
A ogni coppia di numeri reali si può fare corrispondere un punto
sul piano.
- La distanza d tra due punti di coordinate (x1,y1)
e (x2,y2) è:
- d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2
.
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