Abbiamo visto che nel caso in cui le grandezze misurate direttamente si
debbano sommare, allora possiamo stimare l'errore sul risultato come la
somma dei singoli errori assoluti, mentre quando si procede a
delle moltiplicazioni o a delle divisioni sono i singoli errori
relativi a venire sommati.
In questa sezione vedremo come, sotto certe condizioni, le incertezze
calcolate utilizzando le suddette regole possano essere più grandi
del necessario: costituiscano cioè una sovrastima.
Le condizioni affinchè si possa applicare la somma quadratica sono fondamentalmente due e riguardano entrambe gli errori sulle grandezze originarie: questi devono essere
Supponiamo di avere misurato le due quantità x e y
e che queste soddisfino i requisiti che abbiamo illustrato: allora se supponiamo che esse siano governate da due distribuzioni normali di centro rispettivamente X e Y e deviazione standard e possiamo sostituire ai loro errori assoluti ( e ) le rispettive deviazioni standard.
Ora la probabilità di ottenere un particolare valore di x è
mentre per y è
dove abbiamo posto momentaneamente i valori X e Y uguali a zero per semplicità di calcolo.
Dal momento che sia x che y sono misurati indipendentemente l'uno dall'altro, la probabilità di ottenere un particolare valore di x e contemporaneamente un particolare valore di y è data dal prodotto delle singole probabilità per cui
A questo punto, applicando alcune proprietà matematiche che qui non riportiamo, si può vedere che la probabilità di ottenere un dato valore z = x + y ha la seguente forma
Questo risultato mostra che i valori di z = x + y sono normalmente distribuiti attorno all'origine con deviazione standard pari a
Se invece di considerare X e Y entrambe nulli li valutiamo con il loro valore reale, giungiamo alla medesima conclusione salvo il fatto che z sarà non più distribuita rispetto all'origine, ma rispetto alla quantità X + Y.
SOMMA IN QUADRATURA
ERRORI NELLE SOMME/DIFFERENZE
allora l'errore su z è la somma quadratica
In ogni caso, l'errore su z non è
mai più grande della somma ordinaria dei singoli errori
SOMMA IN QUADRATURA
ERRORI NEI PRODOTTI/QUOZIENTI
In ogni caso, l'errore relativo di z non è mai più grande della
somma ordinaria dei singoli errori relativi