SOMMA QUADRATICA

- Errori nelle somme/differenze
- Errori nei prodotti/quozienti

Abbiamo visto che nel caso in cui le grandezze misurate direttamente si debbano sommare, allora possiamo stimare l'errore sul risultato come la somma dei singoli errori assoluti, mentre quando si procede a delle moltiplicazioni o a delle divisioni sono i singoli errori relativi a venire sommati.
In questa sezione vedremo come, sotto certe condizioni, le incertezze calcolate utilizzando le suddette regole possano essere più grandi del necessario: costituiscano cioè una sovrastima.

Le condizioni affinchè si possa applicare la somma quadratica sono fondamentalmente due e riguardano entrambe gli errori sulle grandezze originarie: questi devono essere

In questo modo le misure iniziali si possono considerare governate da una distribuzione normale: essendo inoltre indipendenti la composizione di due o più distribuzioni da luogo ad una distribuzione nuovamente di tipo normale e con deviazione standard pari alla radice quadrata della somma dei quadrati delle deviazioni standard iniziali.
Vediamo di chiarire questo concetto apparentemente complicato.

Supponiamo di avere misurato le due quantità x e y

e che queste soddisfino i requisiti che abbiamo illustrato: allora se supponiamo che esse siano governate da due distribuzioni normali di centro rispettivamente X e Y e deviazione standard e possiamo sostituire ai loro errori assoluti ( e ) le rispettive deviazioni standard.

Ora la probabilità di ottenere un particolare valore di x è

mentre per y è

dove abbiamo posto momentaneamente i valori X e Y uguali a zero per semplicità di calcolo.

Dal momento che sia x che y sono misurati indipendentemente l'uno dall'altro, la probabilità di ottenere un particolare valore di x e contemporaneamente un particolare valore di y è data dal prodotto delle singole probabilità per cui

A questo punto, applicando alcune proprietà matematiche che qui non riportiamo, si può vedere che la probabilità di ottenere un dato valore z = x + y ha la seguente forma

Questo risultato mostra che i valori di z = x + y sono normalmente distribuiti attorno all'origine con deviazione standard pari a

Se invece di considerare X e Y entrambe nulli li valutiamo con il loro valore reale, giungiamo alla medesima conclusione salvo il fatto che z sarà non più distribuita rispetto all'origine, ma rispetto alla quantità X + Y.


SOMMA IN QUADRATURA
ERRORI NELLE SOMME/DIFFERENZE

Se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze "indipendenti e casuali" , , ... , e tali valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo

z = x + ... + y - (u + ... +w)

allora l'errore su z è la somma quadratica

degli errori originari.
In ogni caso, l'errore su z non è mai più grande della somma ordinaria dei singoli errori

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SOMMA IN QUADRATURA
ERRORI NEI PRODOTTI/QUOZIENTI

Se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze "indipendenti e casuali" , , ... , e tali valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo

allora l'errore su z è la somma quadratica dei singoli errori relativi

degli errori originari.
In ogni caso, l'errore relativo di z non è mai più grande della somma ordinaria dei singoli errori relativi

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Errori nei prodotti e quozienti