1 Esercizi di Algebra Vettoriale

Siano a e b vettori di modulo rispettivamente 3 e 5. Le rette direttrici dei due vettori formano un angolo di $\frac{\pi}{4}$ . Calcolare il p.s. (prodotto scalare) di a $\cdot$ b.
Siano a e b vettori di componenti cartesiane (3,7,1) e (-1,6,0). Calcolare il seno dell'angolo compreso tra loro.
Dimostrare il teorema di Carnot.
Determinare il valore del parametro y per cui i due vettori a e b sono ortogonali. a=30i+2yj-k e b =i+7j+yk
Dimostrare che i vettori (a + b) e (a - b) sono ortogonali solo se a e b hanno lo stesso modulo.
Siano r una retta nello spazio, b un vettore orientato lungo r e a un vettore qualunque. Esprimere la proiezione di a sulla retta r.
Siano a=12i+4k e b=5j-8k. Calcolare axb e rappresentarlo graficamente nel sistema di riferimento i,j,k.
Trovare un versore contemporaneamente ortogonale ai 2 vettori a,b precedenti.
Siano a=3i+3j-2k, b =i+7j+k, c=5i-k. Sono complanari? Motivare la risposta.
Il segno del prodotto misto di 3 vettori come cambia se si esegue uno scambio di due vettori? E con due scambi?
Calcolare $\left(\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}\right)\times\overrightarrow{C}$ e $\overrightarrow{A}\times\left(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C}\right)$

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} \overrightarrow{A}=\mathbf{i}+7\mathbf{j}+\... ...errightarrow{C}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}+12\mathbf{k}\end{array}\end{displaymath}$
Ricavare i valori di $\left(\overrightarrow{C}\times\overrightarrow{A}\right)\cdot\overrightarrow{B}$ , $\left(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C}\right)\cdot\overrightarrow{A}$ e $\left(\overrightarrow{A}\times\overrightarrow{B}\right)\cdot\overrightarrow{C}$ impiegando i vettori precedenti.
Dati i tre vettori $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ , tracciati sul piano cartesiano (fig.1), determinare:
il valore dell'angolo $\theta$ , angolo intercettato dal segmento $\overline{CA}$ e dal segmento $\overline{OB}$ ;

Figure 1:

$\includegraphics[]{/tmp/lyx_tmpdir3222FOMJtr/lyx_tmpbuf1/_home_balbi_oggi_24_01_algebra_Vettoriale_eser_es1}$

di nuovo il valore di $\theta$ dopo aver spostato il punto C nelle coordinate (1,5).
Supponendo di conoscere due vettori b,c giacenti sul piano $\pi$ , si calcoli la proiezione di un vettore a su di una retta ortogonale al piano stesso.
Dati i seguenti tre vettori, con {i, j, k} base ortonormale in :

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} \overrightarrow{A}=4\mathbf{i}+7\mathbf{j}+... ...thbf{k}\\ \overrightarrow{C}=\mathbf{i}-2\mathbf{k}\end{array}\end{displaymath}$

calcolare il vettore risultante $\overrightarrow{F}$ ed esprimerlo in forma cartesiana ed in coordinate polari;
calcolare il volume del parallelepipedo avente per spigoli i tre vettori $\overrightarrow{A}$ , $\overrightarrow{B}$ , $\overrightarrow{F}$ ;
determinare il prodotto scalare di $\overrightarrow{F}$ con il vettore $\overrightarrow{L}$ definito in coordinate cilindriche: $L_{r}$ =3; $L_{\theta}=1$ radiante; $L_{h}$ = -1.
Nello spazio euclideo sono dati tre punti Q(5,10,1) W(1,0,6) E(-4,-5,2). Determinare l'area del triangolo di cui Q, W ed E rappresentano i vertici.
Prendiamo un cubo di lato l e sia $\overrightarrow{A}$ la diagonale di una faccia. Calcolare l'angolo compreso tra il vettore $\overrightarrow{A}$ e la diagonale principale del solido.
Dimostrare che una qualunque rotazione di un vettore $\overrightarrow{A}$ intorno all'asse z si ottiene $\overrightarrow{A}$ '=R( $\alpha$ ) $\overrightarrow{A}$ con R( $\alpha$ )= $\left(\begin{array}{ccc} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
Data la relazione $\mathbf{a}Â²+4\mathbf{b}Â²+5\mathbf{c}Â²=0$ determinare la risultante dei tre vettori a,b,c.
Siano quattro vettori a,b,c,d , tali che:

$\begin{displaymath} \mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}+\mathbf{d}\end{displaymath}$

con moduli rispettivamente a=18, b=23, c=27, d=11. Si determini i valori massimo e minimo che puó assumere $\theta$ angolo compreso tra a e b.
Sia L un vettore di componenti cartesiane parametriche:

$\begin{displaymath} \mathbf{L}=\left(a\cos\omega t,btÂ²\sin\omega t,ct\cos5\omega t\right)\end{displaymath}$

calcolarne la derivata parziale prima rispetto al parametro c e al parametro t. Determinare inoltre il valore dell'integrale di L calcolato in funzione di t.
Sia un vettore a disposto in un piano. Il vettore presenta un modulo a

$\begin{displaymath} a=\frac{1}{1+ct}\end{displaymath}$

ed un angolo $\varphi$ compreso tra la direttrice di $\overrightarrow{a}$ e l'asse delle ascisse pari a

$\begin{displaymath} \varphi=gt\end{displaymath}$

Determinare il modulo della velocitá all'istante t=3s sapendo che g= e c=2 $s^{-1}$
Premessa: Siano F un vettore e P il suo punto d'applicazione. Si definisce momento di F rispetto al punto O il vettore M tale che:

$\begin{displaymath} \mathbf{M}=(P-O)\times\mathbf{F} \end{displaymath}$ (1)

Si puó pure definire la proiezione del momento M su di una qualunque retta orientata passante per il punto O come momento assiale di F:

$\begin{displaymath} \mathbf{M}_{u}=(P-O)\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{u} \end{displaymath}$ (2)

Due sistemi di vettori si dicono equivalenti se hanno uguali sia la risultante sia il momento risultante¹.
Esercizio: Siano tre vettori

$\begin{displaymath} \begin{array}{c} \mathbf{T_{1}=}-5\mathbf{i}-12\mathbf{j}+16... ... \mathbf{T_{3}=}10\mathbf{i}-8\mathbf{j}-7\mathbf{k}\end{array}\end{displaymath}$

applicati rispettivamente nei punti $A_{1}=(5,-4,7)$ , $A_{2}=(0,-7,-3)$ , $A_{3}=(3,3,1)$ . Determinare la risultante e il momento risultante calcolato scegliendo O nell'origine degli assi. In seguito prendere O nel punto (3,3,1).