TEOREMA DELLE IPOTESI
- Esempi -

• Esempio 1. Due tiratori sparano un colpo ciascuno sul medesimo bersaglio.
  La probabilità che il primo tiratore colpisca il bersaglio è 0.8 (80%), mentre quella del secondo tiratore è 0.4 (40%). Il bersaglio viene colpito una sola volta.
  Trovare la probabilità che il bersaglio sia stato colpito dal primo tiratore.

  Soluzione. Prima di sparare i colpi sono possibili le seguenti ipotesi:

  - Entrambi i tiratori mancano il bersaglio

  - Entrambi i tiratori centrano il bersaglio

  - Il primo tiratore centra il bersaglio, mentre il secondo lo manca

  - Il primo tiratore manca il bersaglio, mentre il secondo lo centra

  Le probabilità di queste ipotesi valgono:

  P() = 0.2 0.6 = 0.12

  P() = 0.8 0.4 = 0.32

  P() = 0.8 0.6 = 0.48

  P() = 0.2 0.4 = 0.08

  Le probabilità condizionate del verificarsi dell'evento X (bersaglio colpito una sola volta) per queste ipotesi sono uguali a:

  P(X | ) = 0

  P(X | ) = 0

  P(X | ) = 1

  P(X | ) = 1

  Dopo la prova le ipotesi e diventano impossibili, e le probabilità delle ipotesi e per la formula di Bayes sono:

  

  

  Di conseguenza la probabilità che il bersaglio sia stato colpito dal primo tiratore e pari a 6/7.

• Esempio 2. Due stazioni di osservazione forniscono dei dati su un certo oggetto che può trovarsi in due stati M e N, passando in modo aleatorio dall'uno all'altro.
  Lunghe osservazioni hanno permesso di stabilire che durante circa il 30% del tempo l'oggetto si trova nello stato M e per il restante 70% nello stato N.
  La stazione numero 1 fornisce dei dati erronei per circa il 2% dei casi totali, mentre la stazione numero 2 per l'8%. Ad un certo punto la stazione n.1 comunica che l'oggetto si trova nello stato M e la stazione n.2 contemporaneamente lo avvista nello stato N.
  Ci si domanda quale delle due comunicazioni deve essere supposta corretta.

  Soluzione. E` naturale supporre vera la comunicazione la cui probabilità di errore è minore: vediamo cosa accade applicando la formula di Bayes. A tale scopo impostiamo le ipotesi riguardanti lo stato dell'oggetto:

  - L'oggetto si trova nello stato M

  - L'oggetto si trova nello stato N

  In questo caso l'evento osservato X corrisponde al fatto seguente: la stazione n.1 ha trasmesso che l'oggetto si trova nello stato M e la stazione n.2 che esso si trova nello stato N. Le probabilità delle ipotesi prima dell'avvistamento sono:

  P() = 0.3

  P() = 0.7

  Calcoliamo le probabilità condizionate dell'evento osservato X per queste ipotesi.
  Affinchè l'evento X abbia luogo per l'ipotesi è necessario che la comunicazione trasmessa dalla prima stazione sia vera e quella proveniente dalla seconda sia errata, cioè:

  P(X | ) = 0.98 0.08 = 0.0784

  Analogamente

  P(X | ) = 0.92 0.02 = 0.0184

  Applicando la formula di Bayes, troviamo la probabilità che lo stato reale dell'oggetto sia M:

  

  Cioè che la comunicazione della prima stazione fosse quella corretta.

Il teorema delle ipotesi