In questa pagina elenchiamo alcune definizioni utili per affrontare lo studio del calcolo delle probabilità.
Caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie: Valore atteso di una variabile aleatoria
Nel calcolo delle probabilità con la parola evento si intende ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no. Qualche esempio:
Ad ogni evento è associato un numero reale che è tanto maggiore quanto più è elevata la possibilità che si verifichi l'evento stesso: chiamiamo tale numero probabilità dell'evento.
Si dice che l'evento A è dipendente dall'evento B se
la probabilità dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si
sia verificato o meno.
Mentre diciamo che l'evento A è indipendente dall'evento
B se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende
dal fatto che l'evento B si sia verificato o no.
Definiamo evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi. Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità.
L'evento contrario all'evento certo è detto impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a zero.
Si dicono eventi mutuamente escludentesi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova. Ad esempio l'apparizione simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta.
Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dell'esperimento permette di supporre che nessuno di essi sia più probabile di un altro. Ad esempio l'apparizione di una delle sei facce di un dado nel caso in cui questo sia regolare (non truccato).
Si dicono eventi contrari due o più eventi mutuamente escludentesi che formano un gruppo completo. Ad esempio i due eventi - passare l'eseme, essere bocciati - costituscono una coppia di eventi contrari.
Si definisce somma di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi dell'evento A o dell'evento B o di entrambe. La probabilità dell'evento C si scrive nel seguente modo:
P(C) = P(A
B) = P(A + B) = P(A
oppure B)
Si veda a questo proposito il teorema di addizione delle
probabilità
In generale definiamo la somma di un numero qualsiasi di
eventi l'evento che consiste nel verificarsi di almeno uno di
questi.
Si chiama prodotto di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilità dell'evento C si indica nel seguente modo:
P(C) = P(A
B) = P(A
B) = P(A e B)
A questo proposito si veda il teorema di moltiplicazione delle
probabilità.
In generale definiamo il prodotto di un numero qualsiasi
di eventi l'evento che consiste nel verificarsi di tutti questi
eventi.
La probabilità che accada l'evento A, calcolata a condizione che l'evento B si sia verificato o meno, si dice probabilità condizionata e si denota con:
P(A|B)
Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere. Ad esempio l'apparizione dei punteggi 1, 2, 3, 4, 5, 6 nel lanciare un dado costitusce un gruppo completo di eventi.
Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che
posso assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a
priori. Si distinguono in variabili aleatorie discrete e
variabili aleatorie continue. Le variabili discrete
possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i
valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati
in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo.
Esistono anche variabili aletorie che assumono sia valori
continui che valori discreti: tali variabili sono dette variabili
aleatorie miste.
Con il termine valore atteso o speranza matematica
di una variabile aleatoria si è soliti indicare la somma dei
prodotti di tutti i possibili valori della variabile per la
probabilità di questi ultimi.
A seconda che la variabile in questione sia discreta o continua,
il valore atteso è il momento
iniziale di ordine 1.
Il valore atteso è legato al valor medio della variabile, in
quanto, per un gran numero di
prove la media dei valori osservati di una variabile aleatoria
tende (converge) alla sua speranza matematica.
Simulazione
Definizioni
di probabilità