CALCOLO DELLE PROBABILITA`
- Definizioni -

In questa pagina elenchiamo alcune definizioni utili per affrontare lo studio del calcolo delle probabilitÓ.

Eventi:
- Dipendenti ed indipendenti
- Certi ed impossibili
- Mutuamente escludentesi
- Equiprobabili
- Contrari
- Somma
- Prodotto
- ProbabilitÓ condizionata

Gruppo completo di eventi

Variabili aleatorie

Caratteristiche numeriche delle variabili aleatorie: Valore atteso di una variabile aleatoria


GLI EVENTI

Nel calcolo delle probabilitÓ con la parola evento si intende ogni fatto che in seguito ad una prova pu˛ accadere oppure no. Qualche esempio:

- l'apparizione di testa quando si lancia una moneta
- l'apparizione di un asso quando si estrae una carta da un mazzo
- la rivelazione di una data particella in un acceleratore

Ad ogni evento Ŕ associato un numero reale che Ŕ tanto maggiore quanto pi¨ Ŕ elevata la possibilitÓ che si verifichi l'evento stesso: chiamiamo tale numero probabilitÓ dell'evento.

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EVENTI DIPENDENTI ED INDIPENDENTI

Si dice che l'evento A Ŕ dipendente dall'evento B se la probabilitÓ dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o meno.
Mentre diciamo che l'evento A Ŕ indipendente dall'evento B se la probabilitÓ del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o no.

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EVENTI CERTI ED IMPOSSIBILI

Definiamo evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi. Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilitÓ: si attribuisce, cioŔ, all'evento certo probabilitÓ uguale all'unitÓ. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilitÓ minori all'unitÓ.

L'evento contrario all'evento certo Ŕ detto impossibile, ossia un evento che non pu˛ accadere nella prova in questione. All'evento impossibile Ŕ associata una probabilitÓ uguale a zero.

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EVENTI MUTUAMENTE ESCLUDENTESI

Si dicono eventi mutuamente escludentesi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova. Ad esempio l'apparizione simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta.

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EVENTI EQUIPROBABILI

Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dell'esperimento permette di supporre che nessuno di essi sia pi¨ probabile di un altro. Ad esempio l'apparizione di una delle sei facce di un dado nel caso in cui questo sia regolare (non truccato).

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EVENTI CONTRARI

Si dicono eventi contrari due o pi¨ eventi mutuamente escludentesi che formano un gruppo completo. Ad esempio i due eventi - passare l'eseme, essere bocciati - costituscono una coppia di eventi contrari.

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SOMMA DEGLI EVENTI

Si definisce somma di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi dell'evento A o dell'evento B o di entrambe. La probabilitÓ dell'evento C si scrive nel seguente modo:

P(C) = P(AB) = P(A + B) = P(A oppure B)

Si veda a questo proposito il teorema di addizione delle probabilitÓ
In generale definiamo la somma di un numero qualsiasi di eventi l'evento che consiste nel verificarsi di almeno uno di questi.

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PRODOTTO DEGLI EVENTI

Si chiama prodotto di due eventi A e B l'evento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilitÓ dell'evento C si indica nel seguente modo:

P(C) = P(AB) = P(AB) = P(A e B)

A questo proposito si veda il teorema di moltiplicazione delle probabilitÓ.
In generale definiamo il prodotto di un numero qualsiasi di eventi l'evento che consiste nel verificarsi di tutti questi eventi.

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PROBABILITA` CONDIZIONATA

La probabilitÓ che accada l'evento A, calcolata a condizione che l'evento B si sia verificato o meno, si dice probabilitÓ condizionata e si denota con:

P(A|B)

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GRUPPO COMPLETO DI EVENTI

Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere. Ad esempio l'apparizione dei punteggi 1, 2, 3, 4, 5, 6 nel lanciare un dado costitusce un gruppo completo di eventi.

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VARIABILI ALEATORIE

Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che posso assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si distinguono in variabili aleatorie discrete e variabili aleatorie continue. Le variabili discrete possono assumere solo un insieme di valori numerabile, mentre i valori possibili di quelle continue non possono essere enumerati in anticipo e riempiono "densamente" un intervallo.
Esistono anche variabili aletorie che assumono sia valori continui che valori discreti: tali variabili sono dette variabili aleatorie miste.

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VALORE ATTESO DI UNA VARIABILE ALEATORIA

Con il termine valore atteso o speranza matematica di una variabile aleatoria si Ŕ soliti indicare la somma dei prodotti di tutti i possibili valori della variabile per la probabilitÓ di questi ultimi.
A seconda che la variabile in questione sia discreta o continua, il valore atteso Ŕ il
momento iniziale di ordine 1.
Il valore atteso Ŕ legato al valor medio della variabile, in quanto, per un gran numero di prove la media dei valori osservati di una variabile aleatoria tende (converge) alla sua speranza matematica.

Simulazione

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Definizioni di probabilitÓ