Il teorema delle ipotesi è un corollario del teorema di moltiplicazione e della formula della probabilità totale.
Consideriamo il seguente problema: sia un gruppo di eventi
(che in seguito chiameremo ipotesi) mutuamente escludentesi
.
Siano inoltre note le probabilità delle singole ipotesi e
valgano ripsettivamente P(
), P(
), ...,P(
).
Si esegue un esperimento durante il quale si verifica un
certo evento X. Ci si domanda: in che modo si devono
cambiare le probabilità delle ipotesi in seguito al verificarsi
di questo evento?
In pratica si vuol trovare la probabilità condizionata
P(
| X) per
ciascuna ipotesi.
In accordo con il teorema di moltiplicazione abbiamo
o,
eliminando il primo membro
da cui possiamo ricavare
Ma dalla formula della probabilità totale sappiamo che
percui sostituendo nella formula precedente otteniamo
Quest'ultima è detta formula di Bayes o teorema delle ipotesi.
Esempio
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