La distribuzione di Poisson si può ricavare come caso
particolare della distribuzione binomiale:
quando cioè il numero di prove N diventa molto grande e
contemporaneamente la probabilità di successo in una singola
prova molto piccola, in modo tale che il loro prodotto sia finito
(non diverga) e diverso da zero.
Una tipica situazione che gode delle caratteristiche appena
elencate è lo studio di un processo di decadimento radioattivo.
In questa circostanza, il numero di prove è costituito dal
numero di nuclei che potenzialmente possono decadere (per una
mole di materiale radioattivo il numero di nuclei è dell'ordine
di 1023), mentre la probabilità di
"successo" (decadimento) per ogni nucleo è decisamente
piccola.
Si suppone che la probabilità p di decadimento sia
costante e inoltre, altra caratteristica tipica dei cosiddetti
processi di Poisson, che la probabilità di successo in un
intervallo di tempo [t, t+
t]
sia proporzionale, in prima approssimazione, a t.
Vediamo ora la forma matematica di tale distribuzione. Una variabile aleatoria si distribusce in modo poissoniano se la probabilità di ottenere m successi è data da:
dove la grandezza a è detta parametro della
legge di Poisson e rappresenta la frequenza media di
accadimento dell'evento osservato.
Ad esempio, la probabilità di ottenere due successi è data da e-aa2/2!,
quella di ottenerne tre è e-aa3/3!
e via dicendo.
Note
Proprietà
Esempi
Distribuzioni discrete
Simulazione