DISTRIBUZIONI DISCRETE
- Distribuzione binomiale -

Per introdurre la distribuzione binomiale ricorriamo ad un esempio.
Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Tiziano) escono ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo autobus e che ciascuno di essi abbia probabilitÓ pari a p di riuscire ad arrivare in tempo alla fermata (e ovviamente probabilitÓ 1-p di perdere l'autobus): ci si chiede quale sia la probabilitÓ che due dei tre personaggi in questione riesca nell'intento.

Cominciamo col notare che si richiede la probabilitÓ che due prendano l'autobus, senza specificare quali: in questo modo l'evento due persone prendono l'autobus si pu˛ verificare in tre modi diversi ossia

1) Francesca e Luigi lo prendono, ma Tiziano no
2) Francesca e Tiziano lo prendono, ma Luigi no
3) Il terzo caso Ŕ facilmente intuibile...

Dunque l'evento almeno in due prendono l'autobus, che denoteremo , sarÓ rappresentabile come

dove F, L e T sono rispettivamente Francesca, Luigi e Tiziano che prendono l'autobus, mentre , e corrispondono ognuno al rispettivo personaggio deluso per aver perso l'autobus.
Potendo inoltre considerare i tre personaggi (eventi) indipendenti, per i teoremi della somma e del prodotto delle probabilitÓ, la probabilitÓ dell'evento sarÓ:

Ponendo 1 - p = q otteniamo in definitiva

P() = 3 p2q


Vediamo la generalizzazione di questo esempio.
Si considerino N prove indipendenti in cui l'evento A pu˛ verificarsi o meno: sia p la probabilitÓ (costante per ogni prova) che l'evento A si presenti e di conseguenza 1-p=q la probabilitÓ che esso non si verifichi. Cerchiamo la probabilitÓ che l'evento A si verifichi m volte in N prove.

Consideriamo a questo proposito l'evento corrispondente al verificarsi di A esattamente m volte in N prove.
Come nell'esempio precedente questo evento pu˛ realizzarsi in pi¨ modi diversi: decomponiamo allora l'evento in una somma di prodotti di eventi, consistenti nel presentarsi o meno di A in una singola prova.
Se denotiamo con il presentarsi dell'evento A nell'i-esima prova e con il non presentarsi di A nell'i-esima prova, abbiamo che ogni variante di apparizione dell'evento si compone di m apparizioni dell'evento A e di n-m eventi con indici distinti

Il numero di combinazioni possibili Ŕ uguale a , cioŔ al numero di modi diversi in cui si possono scegliere le m prove, tra le N totali, in cui abbia luogo l'evento A.
Per il teorema di moltiplicazione delle probabilitÓ nel caso di eventi indipendenti, la probabilitÓ di ogni combinazione Ŕ pmqN-m.
Essendo le varie combinazioni mutuamente escludentesi, per il teorema dell'addizione, la probabilitÓ dell'evento Ŕ pari a :

Il coefficiente Ŕ detto coefficiente binomiale e viene spesso indicato come : in particolare il suo valore Ŕ

Note
ProprietÓ
Esempi


Distribuzioni discrete