Dopo avere studiato i casi di somma, differenza, prodotto e quoziente andiamo a studiare funzioni più complicate di una variabile e cerchiamo di trovare una regola generale per la propagazione degli errori in tali funzioni.
Vediamo come procedere: supponiamo al solito di aver misurato
una grandezza x nella forma 
e di usare questa quantità per
calcolare una qualche funzione nota f(x).
Per capire
come l'errore sulla quantità di partenza x si propaghi
attraverso il calcolo dell'ipotetica funzione f(x)
pensiamo al grafico di quest'ultima: dalla figura vediamo come la
miglior stima per f(x) sia costituita da 
che non è altro che il
valore assunto dalla funzione nel punto 
. Per quanto riguarda l'errore fruttiamo
il più grande e il più piccolo valore probabile di x: da
questi graficamente troviamo i corrispettivi valori probabili 
e 
della funzione.
Operando in questo modo non è sempre detto che e siano simmetrici rispetto a : se però l'incertezza 
è sufficientemente piccola la
porzione di grafico che andiamo ad analizzare è così ristretta
che la funzione in quel dominio può essere approssimata ad una
retta. Se così è allora e sono ugualmente spaziati su entrambe i
lati di e
l'incertezza 
, che
ci permette di scrivere il risultato nella forma 
, può essere
ricavata dal grafico.
Molto spesso però non si ricorre all'osservazione del
grafico per ricavare l'errore in quanto si conosce la forma
analitica della funzione (ad es. ln x, cos x,
ecc.).
Una nota proprietà dell'analisi matematica afferma che nel caso
in cui 
sia
piccolo si ha
Ora noi abbiamo che se il nostro errore sulla misura è piccolo possiamo
scrivere
= f(
) - f()
Confrontandola con la precedente possiamo asserire che
La regola generale per il calcolo dell'errore per una fuzione
arbitraria di una variabile si ottiene da questa con un piccolo
accorgimento: poichè la pendenza della curva rappresentante la
funzione può essere sia positiva che negativa, influenzando
così il segno della derivata, dobbiamo considerare il valore
assoluto di quest'ultima.
In pratica abbiamo:
, viene utilizzato per
calcolare una funzione arbitraria f(x), allora l'errore
su tale funzione è pari a 
Nel caso in cui la funzione in esame dipenda da più di una variabile, bisogna considerare l'estensione di questa regola al caso di funzioni arbitrarie di più variabili.
Propagazione
passo-passo
Regola
generale per la propagazione degli errori per funzioni di più
variabili
