- PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI -
FUNZIONI ARBITRARIE DI UNA VARIABILE

Dopo avere studiato i casi di somma, differenza, prodotto e quoziente andiamo a studiare funzioni più complicate di una variabile e cerchiamo di trovare una regola generale per la propagazione degli errori in tali funzioni.

Vediamo come procedere: supponiamo al solito di aver misurato una grandezza x nella forma e di usare questa quantità per calcolare una qualche funzione nota f(x).
Per capire come l'errore sulla quantità di partenza x si propaghi attraverso il calcolo dell'ipotetica funzione f(x) pensiamo al grafico di quest'ultima: dalla figura vediamo come la miglior stima per f(x) sia costituita da che non è altro che il valore assunto dalla funzione nel punto . Per quanto riguarda l'errore fruttiamo il più grande e il più piccolo valore probabile di x: da questi graficamente troviamo i corrispettivi valori probabili e della funzione.
Operando in questo modo non è sempre detto che e siano simmetrici rispetto a : se però l'incertezza è sufficientemente piccola la porzione di grafico che andiamo ad analizzare è così ristretta che la funzione in quel dominio può essere approssimata ad una retta. Se così è allora e sono ugualmente spaziati su entrambe i lati di e l'incertezza , che ci permette di scrivere il risultato nella forma , può essere ricavata dal grafico.

Molto spesso però non si ricorre all'osservazione del grafico per ricavare l'errore in quanto si conosce la forma analitica della funzione (ad es. ln x, cos x, ecc.).
Una nota proprietà dell'analisi matematica afferma che nel caso in cui sia piccolo si ha

Ora noi abbiamo che se il nostro errore sulla misura è piccolo possiamo scrivere

= f() - f()

Confrontandola con la precedente possiamo asserire che

La regola generale per il calcolo dell'errore per una fuzione arbitraria di una variabile si ottiene da questa con un piccolo accorgimento: poichè la pendenza della curva rappresentante la funzione può essere sia positiva che negativa, influenzando così il segno della derivata, dobbiamo considerare il valore assoluto di quest'ultima.
In pratica abbiamo:

se x, misurato con incertezza , viene utilizzato per calcolare una funzione arbitraria f(x), allora l'errore su tale funzione è pari a

Nel caso in cui la funzione in esame dipenda da più di una variabile, bisogna considerare l'estensione di questa regola al caso di funzioni arbitrarie di più variabili.


Propagazione passo-passo
Regola generale per la propagazione degli errori per funzioni di più variabili