TEOREMA DELLE
PROBABILITÀ COMPOSTE

Un altro modo per esprimere il teorema di moltiplicazione delle probabilitÓ Ŕ rappresentato dal teorema delle probabilitÓ composte. Tale teorema pu˛ essere enunciato nel modo seguente:

la probabilitÓ del prodotto di due eventi Ŕ uguale al prodotto della probabilitÓ di uno degli eventi per la probabilitÓ condizionata dell'altro calcolata a condizione che il primo abbia luogo.

P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

Si noti che se gli eventi A e B sono mutuamente escludentesi, la probabilitÓ ccndizionata si annulla per definizione, mentre se gli eventi sono indipendenti si ha che P(B|A) = P(B) e analogamente P(A|B) = P(A): da quest'ultimo caso discende un corollario molto importante:

la probabilitÓ del prodotto di due eventi indipendenti Ŕ uguale al prodotto delle probabilitÓ di questi eventi.

P(AB) = P(A) P(B)

o in generale, per N eventi


Esempio

Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 palline rosse. Si estraggono due palline dall'urna: trovare la probabilitÓ che le due palline estratte siano entrambe bianche.

Denotiamo con A l'evento - apparizione di due palline bianche -. L'evento A Ŕ il prodotto di due eventi elementari

A =

dove rappresenta l'apparizione della pallina bianca alla prima estrazione e Ŕ la probabilitÓ di ottenere la pallina bianca alla seconda estrazione.
In virt¨ del teorema delle probabilitÓ composte

Consideriamo la stessa situazione in cui dopo la prima estrazione, la pallina estratta viene rimessa nell'urna (si parla allora di estrazione con reintroduzione): in questo caso gli eventi e sono indipendenti e per il corollario si ha:

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