GLI SCARTI E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO

Supponiamo di aver ricavato N misure della stessa grandezza x. Con queste abbiamo poi calcolato la miglior stima attraverso la media e ora ci apprestiamo a dare una valutazione dell'incertezza da associare a tale stima.
Iniziamo col considerare una prima quantità chiamata scarto o deviazione. Tale grandezza è così definita:

= -

Questa differenza ci da una indicazione di quanto la i-esima misura differisce dalla media. In generale, se tutti gli scarti sono molto piccoli, le nostre misure saranno tutte vicine e quindi, presumibilmente, molto precise. Al di là del valore numerico degli scarti, sinonimo di precisione o meno nelle misure, è interessante notarne il segno: le deviazioni possono essere infatti sia positive che negative a seconda che l'i-esimo dato cada a destra o a sinistra della media.
Questo ci complica un pò la vita. Infatti, se volessimo provare a valutare l'incertezza attraverso una media dei singoli scarti, ci accorgeremmo subito che la media degli scarti è uguale a zero.
Non dovremmo però rimanere troppo stupefatti davanti a questo risultato in quanto la media, per sua definizione, è tale per cui i dati si distribuiscono sia alla sua sinistra che alla sua destra, facendo si che la somma tra gli scarti negativi e quelli positivi sia appunto nulla.

Come ovviare allora a questo inconveniente se riteniamo che gli scarti costituiscano un buon punto di partenza per lo studio dell'incertezza da associare alla media?
Il modo più semplice per salvare capra e cavoli è quello di elevare al quadrato le singole deviazioni ottenendo tutte quantità positive e quindi in grado di essere sommate tra loro senza incorrere in un risultato nullo.
Dopodichè si può passare a calcolare la media estraendone la radice quadrata per ottenere una grandezza compatibile, a livello di unità di misura, con quella di partenza. La grandezza così ottenuta è detta deviazione standard.

La deviazione standard si rivela molto utile per quantificare l'intervallo entro il quale si distribuiscono le varie misure. In particolare vedremo, attraverso lo studio della distribuzione normale che il 68% delle nostre misure dovrebbe trovarsi all'interno dell'intervallo centrato sulla media e di estremi + e -. Si può inoltre assumere la deviazione standard come errore da associare al valore medio della misura. In questo modo siamo sicuri al 68% di aver individuato l'intervallo entro il quale il valore vero della grandezza dovrebbe cadere.


Errori assoluti e relativi
Deviazione standard della media