Supponiamo di aver ricavato N misure della stessa
grandezza x. Con queste abbiamo poi calcolato la miglior
stima attraverso la media e ora ci apprestiamo a dare una
valutazione dell'incertezza da associare a tale stima.
Iniziamo col considerare una prima quantità chiamata scarto
o deviazione. Tale grandezza è così definita:
= 
- 
Questa differenza ci da una indicazione di quanto la i-esima
misura differisce
dalla media. In generale, se tutti gli scarti sono molto piccoli,
le nostre misure saranno tutte vicine e quindi,
presumibilmente, molto precise. Al di là del valore numerico
degli scarti, sinonimo di precisione o meno nelle misure, è
interessante notarne il segno: le deviazioni possono essere
infatti sia positive che negative a seconda che l'i-esimo dato
cada a destra o a sinistra della media.
Questo ci complica un pò la vita. Infatti, se volessimo provare a
valutare l'incertezza attraverso una media dei singoli scarti, ci
accorgeremmo subito che la media degli scarti è uguale a zero.
Non dovremmo però rimanere troppo stupefatti davanti a questo
risultato in quanto la media, per sua definizione, è tale per cui
i dati si distribuiscono sia alla sua sinistra che alla sua
destra, facendo si che la somma tra gli scarti negativi e quelli
positivi sia appunto nulla.
Come ovviare allora a questo inconveniente se riteniamo che
gli scarti costituiscano un buon punto di partenza per lo studio
dell'incertezza da associare alla media?
Il modo più semplice per salvare capra e cavoli è quello di
elevare al quadrato le singole deviazioni ottenendo tutte
quantità positive e quindi in grado di essere sommate tra loro
senza incorrere in un risultato nullo.
Dopodichè si può passare a calcolare la media estraendone la
radice quadrata per ottenere una grandezza compatibile, a livello
di unità di misura, con quella di partenza. La grandezza così
ottenuta è detta deviazione standard.
La deviazione standard si rivela molto utile
per quantificare l'intervallo entro il quale si distribuiscono le
varie misure. In particolare vedremo, attraverso lo studio della distribuzione normale che
il 68% delle nostre misure dovrebbe trovarsi all'interno
dell'intervallo centrato sulla media e di estremi +
e -. Si
può inoltre assumere la
deviazione standard come errore da associare al valore medio
della misura. In questo modo siamo sicuri al 68% di aver
individuato l'intervallo entro il quale il valore vero della
grandezza dovrebbe cadere.
Errori assoluti e relativi
Deviazione
standard della media