ERRORI NEI PRODOTTI E NEI QUOZIENTI

Supponiamo che la grandezza che vogliamo calcolare sia z = xy : nel calcolo dell'errore nei prodotti (o nei quozienti) sfruttiamo gli errori relativi delle singole misure.
Utilizziamo però una forma leggermente diversa per esprimere i valori delle quantità misurate direttamente in termini di errore relativo, cioè:

valore misurato di x==

valore misurato di y== Ora, poichè e costituiscono le nostre migliori stime per le grandezze x e y, la stima migliore che possiamo fare della grandezza z è proprio

Analogamente al caso della somma e della differenza, il valore massimo probabile per z si ha quando vengono considerati i valori più grandi di x e y, ossia nel caso in cui abbiamo il segno più nell'errore relativo:

valore massimo probabile= mentre il valore minimo è dato da

valore minimo probabile = se ora andiamo a sviluppare il prodotto delle due parentesi nel caso del valore massimo (il discorso si può ripetere in modo analogo per il valore minimo) otteniamo:

Si noti che nell'ultimo passaggio si è usata l'uguaglianza approssimata poichè abbiamo trascurato il prodotto dei due errori relativi in quanto, essendo singolarmente numeri piccoli (dell'ordine di qualche percento), il loro prodotto è assai piccolo e trascurabile rispetto altre quantità.

Ne concludiamo in definitiva che le misure siffatte di x e y portano ad un valore di z=xy dato da:

Dal confronto di questa con la forma generale per z

possiamo esprimere l'errore relativo su z come la somma degli errori relativi di x e y

Per quanto riguarda i quozienti il modo di operare è identico, percui possiamo enunciare la regola generale della propagazione delle incertezze nei prodotti e nei quozienti nel modo seguente:
se diverse grandezze x, y, ... , w sono misurate con incertezze , , ... , e tali valori vengono utilizzati per calcolare quantità del tipo

allora l'errore nel valore calcolato di z è pari alla somma

dei singoli errori relativi.
Anche qua abbiamo usato il simbolo di uguaglianza approssimata sempre per sottolineare il fatto che quella che abbiamo ricavato è una sovrastima dell'errore, un limite superiore: vedremo come affinare la nostra valutazione dell'incertezza sui prodotti attraverso la somma quadratica (o somma in quadratura) dei singoli errori.
Errori nelle somme e differenze
Errori nell'elevamento a potenza