Supponiamo di aver ricavato N misure della stessa
grandezza x: da queste abbiamo poi calcolato la miglior
stima attraverso la media e ora ci apprestiamo a dare una
valutazione dell'incertezza da associare a tale stima.
Iniziamo col considerare una prima quantità chiamata scarto
o deviazione. Tale grandezza è così definita:
= 
- 
Questa differenza ci da una indicazione di quanto la i-esima
misura differisce
dalla media: in generale se tutti gli scarti sono molto piccoli
allora le nostre misure saranno tutte vicine e quindi
presumibilmente molto precise. Al di là del valore numerico
degli scarti, sinonimo di precisione o meno nelle misure, è
interessante notarne il segno: le deviazioni possono essere
infatti sia positive che negative a seconda che l'i-esimo dato
cada a destra o a sinistra della media.
Questo ci complica un pò la vita: infatti se volessimo provare a
valutare l'incertezza attraverso una media dei singoli scarti ci
accorgeremmo subito che la media degli scarti è uguale a zero.
Non dovremmo però rimanere troppo stupefatti davanti a questo
risultato in quanto la media, per sua definizione, è tale percui
i dati si distribuiscono sia alla sua sinistra che alla sua
destra facendo si che la somma tra gli scarti negativi e quelli
positivi sia appunto nulla.
Come ovviare allora a questo inconveniente se riteniamo che
gli scarti costituiscano un buon punto di partenza per lo studio
dell'incertezza da associare alla media?
Il modo più semplice per salvare capra e cavoli è quello di
elevare al quadrato le singole deviazioni ottenendo tutte
quantità positive e quindi in grado di essere sommate tra loro
senza incorrere in un risultato nullo.
Dopodichè si può passare a calcolare la media estraendone la
radice quadrata per ottenere una grandezza compatibile, a livello
di unità di misura, con quella di partenza: la grandezza così
ottenute è detta deviazione standard.
La deviazione standard così ottenuta si rivela molto utile
per quantificare l'intervallo entro il quale si distribuiscono le
varie misure: in particolare vedremo, attraverso lo studio della distribuzione normale che
il 68% delle nostre misure dovrebbe trovarsi all'interno
dell'intervallo centrato sulla media e di estremi +
e -. Si
può inoltre assumere la
deviazione standard come errore da associare al valore medio
della misura: così facendo siamo sicuri al 68% di aver
individuato l'intervallo entro il quale il valore vero della
grandezza dovrebbe cadere.
Errori assoluti e relativi
Deviazione
standard della media
Note
