- Il criterio del
2
- 2
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Il test del 2
(o, come talvolta viene chiamato, di Pearson) viene usato come
una sorta di "verifica delle ipotesi".
Le ipotesi in questione possono riguardare semplicemente la
presenza o meno di una correlazione tra diverse variabili (in
questo caso si parla di verifica dell'indipendenza);
oppure riferirsi alla distribuzione teorico-matematica che meglio
riproduce i dati sperimentali (allora si parla di verifica
dell'aggiustamento).
In entrambe i casi il problema è quello di paragonare i
risultati sperimentali con le previsioni teoriche e di valutare
la distanza globale tra i due insiemi sommando i contributi di
ciascun elemento. Questi contributi sono valutati
percentualmente, cioè come rapporto tra lo scarto (differenza
tra risultato e previsione) e la previsione. Gli scarti sono
successiavamente elevati al quadrato per sopprimere il segno.
La distanza globale che che cerchiamo, detta appunto 2, è data
da:
dove Oi sono i risultati osservati e Ti
le previsioni. Il 2
è tanto più grande quanto meno l'osservazione è compatibile
con le ipotesi. Siccome il 2 è calcolato utilizzando
dati sperimentali è esso stesso una variabile aleatoria che
segue, appunto, la distribuzione
2 nel
caso in cui i dati seguano la distribuzione normale.
Esistono tabelle e grafici che forniscono, in funzione del numero
di gradi di libertà dell'insieme, cioè del numero di contributi
che si sommano, i livelli di confidenza che corrispondono a
diversi valori di 2,
dicono cioè qual'è la probabilità di ottenere un 2 maggiore o
uguale a quello osservato se l'ipotesi è vera.
L'uso del 2
come verifica dell'aggiustamento è concettualmente simile al
procedimento che abbiamo descritto. Si costruisce l'istogramma
dei dati e si ipotizza che essi seguano una certa distribuzione
teorica. Per verificare l'ipotesi si calcola il 2 secondo la
stessa definizione data sopra, utilizzando come Oi le
altezze delle colonne dell'istogamma e come Ti i
corrispondenti valori teorici. Anche in questo caso il 2 ottenuto
è una variabile aleatoria e bisogna consultare le tabelle per
poterne derivare una conclusione quantitativa in termini di
probabilità. Per la verifica dell'aggiustamento il numero di
gradi di libertà è dato da
n=k-np-1
dove k è il numero di colonne dell'istogramma
e np il numero di parametri della
distribuzione teorica (ad esempio 3 per la distribuzione di Gauss,
2 per la distribuzione di
Poisson, ...).
Se il 2
ottenuto è inferiore al valore che secondo le tabelle
corrisponde ad un livello di confidenza maggiore o uguale al 95%,
di solito l'ipotesi viene accettata: questo significa infatti
che, se i dati seguono effettivamente la distribuzione teorica
che stiamo verificando, la probabilità di avere per
fluttuazione statistica un 2 minore di quello
osservato è soltanto del 5%.
Il
criterio "a priori"
Rappresentazione grafica dei dati:
l'interpolazione
